Seja f definida por

f x = x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 s e x ≠ - 3 , x ≠ - 1 0 s e x = - 3 - 1 2 s e x = - 1

a) A função f está definida em R ? Justifique

b) Dê os pontos onde f é contínua. Justifique

c) Dê os pontos f é descontínua. Justifique

d) A função f é contínua em R ? Justifique

Passo 1

Começando com a letra a .

Como a função tem como expressões duas constantes e uma função racional, os únicos pontos de restrições do domínio são quando o denominador zera, que ocorre em x = - 3 e em x = - 1 .

Nesses pontos, porém, a expressão é 0 e - 1 / 2 , respectivamente. Assim, a função é definida em R .

Passo 2

Para a letra b e c . Vamos ver agora se a função é contínua. Para que seja, precisamos que:

lim x → - 3 ⁡ f x = f - 3

E:

lim x → - 1 ⁡ f x = f - 1

Vamos ver a primeira igualdade.

lim x → - 3 ⁡ f x = lim x → - 3 ⁡ x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 = l i m x → - 3 x x + 1 x + 1 x + 3 x + 1 x + 1 = l i m x → - 3 x x + 3 = ∞

Sendo que:

f - 3 = 0

E, portanto:

lim x → - 3 ⁡ f x ≠ f - 3

E a função não é contínua nesse ponto.

Para a segunda igualdade, vamos calcular o limite: lim x → - 1 ⁡ f x = lim x → - 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 = l i m x → - 1 x x + 1 x + 1 x + 3 x + 1 x + 1 = l i m x → - 1 x x + 3 = - 1 2

E:

f - 1 = - 1 2

Como:

lim x → - 1 ⁡ f x = f - 1

A função é contínua para esse ponto. A função será contínua em todos os outros pontos, pois as expressões são duas constantes e uma função racional na qual já tratamos dos pontos de restrição. Essas funções são sempre contínuas para seus domínios.

Passo 3

Para a letra d , concluímos que a função é descontínua, uma vez que tem um ponto de descontinuidade em x = - 3 .

Resposta

  1. Sim, é definida em R
  2. Contínua para todos os pontos diferentes de x = - 3
  3. Descontínua em x = - 3
  4. É descontínua.

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2