Calcule a derivada de

f ( x ) = 1 1 - 2 x

usando a definição de derivada.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a derivada de f(x) através da definição da função derivada, que vem a ser o seguinte limite:

l i m Δ x → 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

Antes de calcularmos esse limite específico, precisamos introduzir a função gama Γ ( z ) , que é uma generalização da função fatorial para números além dos naturais. Em particular, essa função, semelhantemente a função fatorial, possui a seguinte propriedade que será útil:

Γ ( z ) = z Γ ( z - 1 )

Dito isso, voltamos ao cálculo do limite. Pela definição de derivada, temos que a derivada de f(x) é dada por

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 1 Δ x 1 1 - 2 x - 2 Δ x - 1 1 - 2 x = l i m Δ x → 0 1 - 2 x - 2 Δ x - 1 / 2 - ( 1 - 2 x ) - 1 / 2

Agora, o que iremos fazer é: nós vamos expandir o primeiro termo do limite acima em uma expansão binomial. E como que a gente faz isso? Dá só uma olhada!

Passo 2

Se temos um binômio ( a + b ) n , podemos escrevê-lo como:

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ! k ! ( n - k ) ! a n - k b k

Então, podemos fazer a identificação com a função f(x) dada: a = 1 - 2 x e b = - 2 Δ x . Assim, podemos escrever a derivada como:

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 1 Δ x ∑ k = 0 n ! k ! ( n - k ) ! ( 1 - 2 x ) n - k ( - 2 Δ x ) k - 1 Δ x ( 1 - 2 x ) - 1 / 2

Como iremos tirar o limite de Δ x → 0 , temos que os termos de ordem superiores não serão relevantes, pois eles tenderão à zero muito rapidamente. Então, manteremos termos de Δ x até primeira ordem. Fazendo isso, abrindo o somatório, obtemos:

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 Γ ( - 1 2 ) 0 ! Γ - 1 2 ( 1 - 2 x ) - 1 2 ( - 2 Δ x ) ⁰ Δ x + Γ ( - 1 2 ) 1 ! Γ - 1 2 - 1 ( 1 - 2 x ) - 1 2 - 1 ( - 2 Δ x ) ¹ Δ x + . . . - 1 Δ x ( 1 - 2 x ) - 1 / 2

Temos que, o último termo é igual ao primeiro, com sinal trocado e, portanto, se cancelam. Então, o que nos sobra da expressão é

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 Γ ( - 1 2 ) 1 ! Γ - 1 2 - 1 ( 1 - 2 x ) - 3 2 ( - 2 Δ x ) Δ x + . . .

Onde as reticências indicam os termos com potências superiores de Δ x , que foram desprezados. Agora, utilizamos a propriedade mencionada anteriormente da função Γ ( z ) . Como Γ ( z ) = z Γ ( z - 1 ) , temos que

Γ - 1 2 = - 1 2 Γ - 1 2 - 1 = - 1 2 Γ - 3 2

Então,

Γ - 3 2 = - 2 Γ - 1 2

Assim, podemos escrever a derivada como:

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 Γ ( - 1 2 ) 1 ! Γ - 3 2 ( 1 - 2 x ) - 3 2 ( - 2 Δ x ) Δ x = Γ ( - 1 2 ) - 2 Γ - 1 2 ( 1 - 2 x ) - 3 2 ( - 2 ) = ( 1 - 2 x ) - 3 / 2  

Portanto, pela definição de derivada, temos que a derivada de f(x) é simplesmente

f ' ( x ) = 1 ( 1 - 2 x ) ³

Resposta

f ' ( x ) = 1 ( 1 - 2 x ) ³

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