Encontre todas as soluções da EDO:

1 + y e x y d x + 2 y + x e x y d y = 0

Passo 1

Hmm. Essa EDO está com cara de uma EDO exata, que é a forma:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, podemos verificar se é de fato uma EDO exata. Para isso, começamos usando o critério de Euler:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ⟹ E q .   e x a t a

Para isso, vamos começar derivando:

∂ M ∂ y = ∂ 1 + y e x y ∂ y = e x y + x y e x y = e x y 1 + x y

∂ N ∂ x = ∂ 2 y + x e x y ∂ x = e x y + x y e x y = e x y 1 + x y

Temos então que

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Logo, essa é uma Equação exata!! 😊

Passo 2

Se é uma equação exata, então a solução será implícita na forma: u x , y = ∫ M x , y d x = C

Então vamos calcular essa integral aí:

∫ M x , y d x = ∫ 1 + y e x y d x = x + y ⋅ e x y y + g y = x + e x y + g y

Aparece esse g y , pois temos uma função de x e y e estamos integrando em relação a x , assim surge uma função de y ao invés da constante da integral indefinida.

Passo 3

Beleza, não podemos deixar a resposta em função desse g y aí, precisamos encontrar sua expressão. Para isso, usamos o fato que:

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = N x , y

Assim, teremos: ∂ ∂ y x + e x y + g y = 2 y + x e x y

x e x y + g ' y = 2 y + x e x y

g ' y = 2 y

A partir da derivada, integramos: g y = ∫ 2 y d y = y 2

E deixamos agora sem nenhuma constante mesmo.

Passo 4

Então vimos que a solução vai ser implícita na forma: u x , y = ∫ M x , y d x = C  

Ou seja, temos: u x , y = x + e x y + g y = C  

E com o valor de g y que acabamos de encontrar, vai ficar: u x , y = x + e x y + y 2 = C  

u x , y = x + y 2 + e x y = C  

E acabou. 😊

Resposta

u x , y = x + y 2 + e x y = C  

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