Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta que faz um ângulo de θ radianos com o eixo positivo dos x . A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x 2 + y - a 2 = a 2 no ponto B . Quando θ varia, o vértice P do triângulo retângulo A P B descreve uma curva chamada curva de Agnesi.

c) Determine a equação cartesiana.

Passo 1

Para determinarmos a equação cartesiana dessa curva a partir do par de equações paramétricas devemos realizar as seguintes manipulações em x :

x = 2 a cot ⁡ θ

x 2 = 4 a 2 cot 2 ⁡ θ

Passo 2

A partir disso a primeira identidade trigonométrica que devemos nos lembrar é:

cot 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ - 1

Ao aplicarmos ela em x 2 teremos:

x 2 = 4 a 2 cot 2 ⁡ θ

x 2 = 4 a 2 ( csc 2 ⁡ θ - 1 )

Passo 3

Sendo assim, outra identidade trigonométrica importante para essa resolução é:

csc 2 ⁡ θ = 1 sin 2 ⁡ θ

Substituindo em x 2 iremos ficar com:

x 2 = 4 a 2 ( 1 sin 2 ⁡ θ - 1 )

Agora basta realizarmos algumas manipulações em y :

y = 2 a sin 2 ⁡ θ

1 = 2 a sin 2 ⁡ θ y

1 sin 2 ⁡ θ = 2 a y  

E substituirmos a relação obtida em x 2 :

x 2 = 4 a 2 ( 1 sin 2 ⁡ θ - 1 )

x 2 = 4 a 2 ( 2 a y - 1 )

x 2 = 8 a 3 y - 4 a 2

x 2 + 4 a 2 = 8 a 3 y

y x 2 + 4 a 2 = 8 a 3

y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2

Resposta

y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2

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