Verifique se a equação dada é exata. Em caso negativo, encontre o fator integrante que transforma a equação dada em uma equação exata. Resolva o problema de valor inicial.

x + y cos ⁡ y y ' + y ln ⁡ y + y   e x = 0

y 0 = π 2

Passo 1

Vamos começar deixando na forma da equação exata. Temos que

y ' = d y d x .

Então, vamos ter a equação

x + y cos ⁡ y d y d x + y ln ⁡ y + y   e x = 0

Multiplicando tudo por d x

y ln ⁡ y + y   e x d x + x + y cos ⁡ y d y = 0 .

Legal, então temos uma equação na forma da equação exata:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Passo 2

Beleza, deixamos na forma da equação exata, vamos verificar agora se é mesmo uma equação exata. Segundo o critério de Euler, a equação é exata se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x .

Então vamos determinar essas derivadas:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y ln ⁡ y + y   e x = ln ⁡ y + 1 + e x

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x x + y cos ⁡ y = 1 .

Isso significa que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x ,

E, portanto, não temos uma equação exata aqui ☹.

Passo 3

Beleza, levanta a cabeça. Já que não temos uma equação exata, vamos então calcular o fator integrante. Temos dois candidatos. O primeiro será

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = h x

Para adotarmos esse candidato, e determinarmos o fator integrante a partir dele, h deve ser constante ou uma função apenas de x . Vamos ver como fica essa expressão então. A partir do que já calculamos, temos

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = ln ⁡ y + 1 + e x - 1 x + y cos ⁡ y = ln ⁡ y + e x x + y cos ⁡ y

Podemos até tentar simplificar essa expressão, mas já dá para ver que não será uma função apenas de x . Assim, vamos tentar o segundo candidato. Se tivermos

- ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x M = f y ,

função apenas de y , então esse será nosso candidato a fator integrante. Substituindo

- ln ⁡ y + 1 + e x + 1 y ln ⁡ y + y   e x = - ln ⁡ y + - e x y ln ⁡ y + y   e x = - 1 y ⋅ ln ⁡ y + e x ln ⁡ y + e x = - 1 y = f y .

Opa, essa é uma função apenas de y , então esse será nosso candidato a fator integrante, mas cuidado, não é o fator integrante propriamente dito. Ele será dado por

I y = e ∫ f y d y = e - ∫ 1 y d y = e ln ⁡ y - 1 = y - 1

Passo 4

Beleza, determinado o fator integrante e assumindo y > 0 , vamos ter y - 1 = 1 / y . Agora, multiplicando na equação principal

1 y y ln ⁡ y + y   e x d x + 1 y x + y cos ⁡ y d y = 0

ln ⁡ y +   e x d x + x y + cos ⁡ y d y = 0

M - x , y d x + N - x , y d y = 0

Vamos verificar agora se é exata. Para isso, derivamos novamente

∂ M - ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ y +   e x = 1 y

∂ N - ∂ x = ∂ ∂ x x y + cos ⁡ y = 1 y

OPaaaAAAaaaa! Deu igual. Então temos agora uma equação exata.

Passo 5

Legal, então se a equação é a exata, a solução será dada implicitamente na forma

u x , y = ∫ M - x , y d x = C .

Substituindo os valores, vamos encontrar

∫ M - x , y d x = ∫ ln ⁡ y +   e x d x = x ln ⁡ y + e x + g y

Como estamos integrando uma função de x e y em relação a x vai aparecer uma função de y (como se fosse a constante) ao final da integral.

Não podemos deixar a resposta assim, precisamos encontrar essa expressão.

Passo 6

Para encontrar g y , usamos que

∂ ∂ y ∫ M - x , y d x = N - x , y

Assim, substituindo o que encontramos antes, temos

∂ ∂ y x ln ⁡ y + e x + g y = x y + g ' y .

Comparando,

x y + g ' y = x y + cos ⁡ y

g ' y = cos ⁡ y .

Agora, para encontrar a expressão de g y , vamos integrar

g y = ∫ cos ⁡ y d y = sen ⁡ y .

Deixando assim sem a constante mesmo.

Passo 7

Bem, agora já podemos escrever a solução geral do problema

u x , y = ∫ M - x , y d x = C

u x , y = x ln ⁡ y + e x + g y = C

u x , y = x ln ⁡ y + e x + sen ⁡ y = C

Passo 8

Acabou? Não, temos uma condição inicial y 0 = π 2 .

Então dá para encontrar o valor daquela constante C . Substituindo o valor, temos

u 0 , π 2 = 0 ⋅ ln ⁡ π 2 + e 0 + sen ⁡ π 2 = C

1 + 1 = C

C = 2 .

Então, a nossa solução final vai ser

u x , y = x ln ⁡ y + e x + sen ⁡ y = 2 .

Resposta

u x , y = x ln ⁡ y + e x + sen ⁡ y = 2

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