Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Considere as funções

g x = 1 ,     x < - 1 | x | ,     x ≥ - 1 e f x = 1 ,     x < 0 1 - x 2 ,     x ≥ 0

(c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular ( f ∘ g ) ' ( x ) .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?

O que precisamos fazer nessa questãozinha é determinar o intervalo de derivação onde a função composta é válida para usar a regra da cadeia. Para isso, precisamos obter o domínio deste conjunto C e vamos fazer isso investigando a continuidade das funções e das derivadas de f ( x ) e g ( x ) .

Primeiramente, vamos derivar a f ( x ) e a g ( x ) .

Como temos o módulo na g ( x ) , devemos abrir este módulo:

g x = 1 ,     x < - 1 - x ,   - 1 < x < 0 x ,     x ≥ 0

Derivando g ( x )

g ' x = 0 ,     x < - 1 - 1 ,   - 1 < x < 0 1 ,     x ≥ 0

Derivando f ( x )

f ' x = 0 ,     x < 0 - 2 x ,     x ≥ 0

Passo 2

Agora vamos analisar o domínio das funções. O domínio nada mais é que o conjunto de entradas permitidas na função, ou seja, todos os valores de x para os quais a função existe.

Olhando pra g ’ ( x ) vemos que todas as partes por si só são contínuas, então precisamos conferir se nos pontos x = - 1 e x = 0 onde as partes se encontram as derivadas são iguais:

g ' - - 1 = 0   ≠   g ' + - 1 = - 1

g ' - 0 = - 1 ≠   g ' + 0 = 1

Como são diferentes, 0 e - 1 não pertencem ao domínio.

Logo,

d o m g ' x = R - { - 1,0 }

Fazendo o mesmo para f ' ( x ) quando x = 0 , temos:

f - 0 = f + 0 = 0

Então:

d o m f ' x =   R

Passo 3

Por fim vamos analisar o domínio da função completa.

Pela definição:

C = ( d o m f ' ∘ g ) ∩ ( d o m g ' )

Assim, o domínio do conjunto será a interseção dos domínios de f ' ∘ g e g ' .

Logo

C = R - { - 1,0 }

Prontinho! Até mais!

Resposta

C = R - { - 1,0 }

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