Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

  1. Se f x = 1 1 + x 2 , então f ( f x ) é dada por

É igual a

  1. 1 1 + x 4 ;
  2. 1 1 + 2 x 2 + x 4 ;
  3. 1 + 2 x 2 + x 4 2 + 2 x 2 + x 4 ;
  4. x + 1 x 4 + 1 ;
  5. x .

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com um problema de função composta. Que nada mais é que uma função de uma função. Olha só, o problema nos deu essa função daqui

f x = 1 1 + x 2

E ele quer que a gente encontre f ( f x ) . Que coisa doida, não? Mas calma lá!Na prática, o que a gente tem que fazer é pegar aquela função f x e no lugar de x a gente vai botar essa própria função de f ( x ) . Olha como vai ficar

f f x = 1 1 + f x 2

E agora a gente só precisa usar o valor de f ( x ) e ver no que dá. Partiu?

Passo 2

Como f x = 1 1 + x 2 , nós temos

f f x = 1 1 + 1 1 + x 2 2

Viu? Nem assusta tanto assim. Vamos melhorar essa cara aí elevando aquele termo ao quadrado

1 1 + x 2 2 = 1 2 ( 1 + x 2 ) = 1 1 + 2 x 2 + x 4

Beleza. Agora a gente devolve isso na nossa função composta

f f x = 1 1 + 1 1 + x 2 2 = 1 1 +   1 1 + 2 x 2 + x 4

Agora a gente tem que melhorar a cara daquele denominador ali

Passo 3

No denominado a gente tem esse cara aqui

1 +   1 1 + 2 x 2 + x 4

Para melhorar isso, vamos fazer multiplicar aquele 1 que tá sozinho por 1 + 2 x 2 + x 4 1 + 2 x 2 + x 4 que não muda em nada né?

1 +   1 1 + 2 x 2 + x 4 = 1 + 2 x 2 + x 4 1 + 2 x 2 + x 4 +   1 1 + 2 x 2 + x 4  

Agora, como temos uma soma de duas frações com o mesmo denominador, repetimos o denominador e somamos os termos de cima

1 + 2 x 2 + x 4 1 + 2 x 2 + x 4 +   1 1 + 2 x 2 + x 4 = 1 + 2 x 2 + x 4 + 1 1 + 2 x 2 + x 4 =   2 + 2 x 2 + x 4 1 + 2 x 2 + x 4

Show!! Agora a gente devolve isso na nossa expressão

f f x = 1 1 +   1 1 + 2 x 2 + x 4 = 1 2 + 2 x 2 + x 4 1 + 2 x 2 + x 4

Passo 4

Prontinho, o que falta a gente fazer é melhorar essa fração daqui

f f x = 1 2 + 2 x 2 + x 4 1 + 2 x 2 + x 4

Fazemos isso repetindo aquele 1 e multiplicando pelo inverso da fração de baixo:

f f x = 1   .   1 + 2 x 2 + x 4 2 + 2 x 2 + x 4

f f x = 1 + 2 x 2 + x 4 2 + 2 x 2 + x 4  

BELEZA? Vamos para a próxima?

Resposta

Letra C.

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