Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Se g ( x ) = 2 x + 1 e h ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 7 , encontre uma função f tal que f ∘ g = h (Pense sobre quais operações deveriam ser feitas em g para chegar em h ).

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá as funções

g ( x ) = 2 x + 1 e h ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 7

precisamos encontrar uma função f , tal que f ∘ g = h . O segredo aqui é tentar reescrever h ( x ) em termos de g ( x ) e identificar o que sobra na expressão que iremos obter! Saca só!

Passo 2

Vamos começar tentando escrever a função h ( x ) como um produto notável da forma

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

supondo que a = 2 x , podemos escrever

( 2 x + b ) 2 = 4 x 2 + 4 x   b + b 2

Comparando com a nossa função original, temos que para obtermos o formato

h ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 7

precisamos ter b = 1 , isso nos leva à

( 2 x + 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 x   + 1

Isso ainda não é exatamente o que queremos! Vamos manipulá-la mais um pouquinho! Vem comigo!

Passo 3

Temos que somar 6 para obter o 7 presente em h ( x ) , ou seja, somando 6 em ambos os lados da equação, temos que

( 2 x + 1 ) 2 + 6 = 4 x 2 + 4 x   + 7

Identificando então que

h ( x ) = [ g ( x ) ] 2 + 6

de forma que a nossa função f deve ser

f ( x ) = x 2 + 6

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = x 2 + 6

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