Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

3. Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g , em seguida, determine a composta h x = g f x .

c) g x = 1 x e f : A → R , f x = x 3 - x 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos duas funções f x e g x , nossa tarefa é obter um intervalo para o conjunto imagem de f x que seja o maior possível e depois obter uma função composta h x = g f x .

Vamos ver como fazemos isso! 😁

A imagem de uma função é um conjunto de números que a função pode resultar.

Já uma função composta, nada mais é quando temos uma função dentro de outra função. Nesse caso temos que pegar a função g x e no lugar de x , escrever a função f x .

Sacou? Bora ver como fazemos isso! 👀

Passo 2

Primeiro vamos definir o maior conjunto imagem da função f x

f x = x 3 - x 2

Primeiramente, podemos ver que não existe restrições para o domínio de f , ou seja, x pode assumir qualquer valor R .

Se não há restrições no domínio, então a função é continua em toda sua imagem.

Perceba que essa é uma função polinomial de grau 3 e para valores maiores que 1 , o termo x 3 se sobressai em cima do termo - x 2 , então para altos valores, a função é dominada pelo termo x 3 .

Ou seja, se - ∞ < x < ∞ , então o termo x 3 também varia entre esses valores.

Logo, o conjunto imagem de f é todos os valores reais....

I m f = R

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora vamos obter a função composta h x = g f x

Se f x = x 3 - x 2 e g x = 1 x .

f composta em g nada mais é que pegar a variável x em g e substituir por f ...

g x = 1 x → h x = 1 f x

h x = 1 x 3 - x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

I m f = R ,     h x = 1 x 3 - x 2

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