Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

Ver Teoria

Enunciado

Verifique se existem as funções compostas f ∘ g e g ∘ f quando f e g são definidas tais como nos itens a seguir. Caso exista a composição, explicite qual é o seu domínio e contradomínio e, em seguida, determine a sua lei.

( b )   f : ℝ + → ℝ tal que f ( x ) = x e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = x 2 - 3 x + 4 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Precisamos verificar se as funções compostas f ∘ g e g ∘ f existem, assim como, encontrar o domínio e contradomínio das mesmas, por último, devemos também escrever a lei da função, ou seja, seu formato em termos de x . Mas como fazemos isso? Vamos definir a composição como

h ( x ) = f ∘ g = f [ g ( x ) ]

para que f ∘ g exista é necessário que o domínio de f seja igual ao contradomínio de g ! A análise para g ∘ f é análoga! As nossas funções foram dadas como

f : ℝ + → ℝ tal que f ( x ) = x e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = x 2 - 3 x + 4 .

Isso é informação suficiente para nossa questão! Vamos lá!

Passo 2

Temos que a função f tem como domínio apenas os reais positivos. Ou seja, para que a composta f ∘ g exista, é necessário limitar o domínio da composta, aos valores de x nos quais o contradomínio de g ( x ) seja positivo! Agora, para g ∘ f , temos que f tem como contradomínio todos os reais, e g tem como domínio os reais, sendo assim, não terá nenhum problema em sua definição! Vamos analisar um pouco cada uma individualmente! Temos que

f ∘ g = f [ g ( x ) ] = x 2 - 3 x + 4

o domínio desta função precisa que x 2 - 3 x + 4 > 0 , usando Bhaskara, temos que

x ± = - ( - 3 ) ± ( - 3 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 4 ) 2 ( 1 )

ou, simplesmente

x ± = 6 ± 5 i 2

ou seja, as únicas raízes não são reais, sendo assim, o contradomínio de g ( x ) é simplesmente os reais positivos. E, desta forma, f ∘ g é definida tal que ℝ + → ℝ . Agora, para a outra composta, temos

g ∘ f = g [ f ( x ) ] = [ x ] 2 - 3 [ x ] + 4

como o domínio de f são os reais positivos, teremos que seu contradomínio será apenas os reais positivos, o que não causará problemas com o domínio de g ∘ f nos reais positivos que levam para os reais (Como não existe raiz real para o polinômio g ( x ) na prática, o contradomínio será apenas os reais positivos)! Vamos escrever as leis rapidamente!

Passo 3

Usando que g ( x ) = x 2 - 3 x + 4 , temos que

f ∘ g = x 2 - 3 x + 4

que está em sua forma mais simples. Agora, usando que f ( x ) = x , temos que

g ∘ f = [ x ] 2 - 3 [ x ] + 4 = | x | - 3 x + 4

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Temos que f ∘ g = x 2 - 3 x + 4 tal que ℝ + → ℝ + e g ∘ f = | x | - 3 x + 4 tal que ℝ + → ℝ + .

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a função na forma f o g
Uma companhia de táxi cobra $2 pelo primeiro quilômetro (ou parte de quilômetro) e 20 centavos a cada décimo de quilômetro adicional (ou parte disso). Expresse o custo C (em dólares) de uma corrida co
Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:
Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:
Encontre f o g o h