Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Diga se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

  1. Se duas funções f e g são tais que f é contínua em um determinado valor x = a e g é descontínua em x = a , então a composta f ∘ g será descontínua em x = a .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá a seguinte afirmativa:

“Se duas funções f e g são tais que f é contínua em um determinado valor x = a e g é descontínua em x = a , então a composta f ∘ g será descontínua em x = a .”

Queremos descobrir se isso é verdadeiro ou falso.

Bom... sabemos que a composta de duas funções contínuas resultam em uma função que também é contínua.

Já para o caso em que uma das funções é descontínua, não há uma regra.

Então bora entender isso direitinho!!

😉

Passo 2

Bom... se g x é uma função descontínua em x = c , temos:

lim x → c ⁡ g x ≠ g c

Agora vamos analisar o limite da função composta quando x tende a c :

lim x → c ⁡ f ∘ g x = lim x → c ⁡ f g x = f lim x → c ⁡ g x

Vamos estabelecer uma hipótese em que lim x → c ⁡ g x existe e tem um valor L enquanto g ( c ) = M .

Se f ( L ) = f ( M ) então a função composta é contínua em x = c apesar da descontinuidade de g ( x ) .

Mas se f L ≠ f ( M ) então a função composta f ∘ g é também descontínua em x = c .

Ou seja, para a composição entre duas funções como f ( x )   e   g ( x ) temos que analisar caso a caso.

Entendeu direitinho? Responde aee 😉

Resposta

Não se pode afirmar

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