Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

  1. Considere as sentenças
  1. a composta de duas funções ímpares é uma função ímpar;
  2. a composta de uma função ímpar e uma função par é uma função par, independente da ordem;
  3. a composta de duas funções pares é uma função par.

Pode-se afirmar que:

  1. somente (I) e (II) são verdadeiras;
  2. somente (I) e (III) são verdadeiras;
  3. somente (II) e (III) são verdadeiras;
  4. somente (III) é verdadeira;
  5. todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com um problema de paridade de uma função. Para resolver esse problema a gente deve se lembrar que a gente classifica as funções como:

  • f x é par se f - x = f x
  • f x é ímpar se f - x = - f x

Vamos usar essas características para explorar as afirmações do problema. Partiu!

Passo 2

Primeiro ele diz que se tivermos duas funções f ( x ) e g ( x ) que são ímpares, ou seja

f - x =   - f x   e     g - x =   - g ( x )

A composta delas f ( g x ) também vai ser ímpar (a gente poderia ter feito g ( f ( x ) também mas tanto faz). Para essa função ser ímpar a gente tem que ter:

f g - x =   - f ( g x )

Como g x é ímpar temos

f g - x =   f - g x

E como f ( x ) também é ímpar temos

f g - x = f - g x =   - f g x

Opa!! Isso bateu com a afirmação, essa função composta é ímpar!

Passo 3

Agora o problema nos fala que a composta de uma função ímpar e uma função par é uma função par, independente da ordem. Vamos testar isso com uma função ímpar f ( x ) e uma função par h ( x ) . Aí a gente pode montar uma função composta de duas formas

f h x ou h f x . Vamos ver quanto a paridade da primeira:

f h - x = f ( h ( x ) )

E isso nos diz que f ( h ( x ) ) é uma função par. SHOW! Vamos ver agora a outra possibilidade:

h f - x = h - f x = h ( f ( x ) )

OPA! Essa também é par... Então a nossa afirmação é verdadeira! Partiu ver a última!!

Passo 4

A última afirmação nos diz que a composta de duas funções pares é uma função par. Vamos fazer a mesma coisa que a gente tem feito para duas funções pares h ( x ) e m ( x ) . A gente supõe uma função composta h ( m ( x ) ) e fazemos

h m - x = h ( m ( x ) )

Isso nos diz que essa composta é par... Show! Então essa afirmação também é verdade! Essa questão só nos disse verdades kkk

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra e.

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