Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Nos itens abaixo, determine as funções f ∘ g , g ∘ f , f ∘ f e g ∘ g e seus domínios.

a) f x = 2 x + 3 e g x = 4 x - 1

b) f x = x 2 e g x = x + 1

c) f x = x 2 e g x = x - 3

d) f x = x x + 1 e g x = 2 x - 1

e) f x = x x + 1 e g x = 1 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas funções e pediu pra gente determinar as funções compostas f ∘ g , g ∘ f , f ∘ f e g ∘ g e seus domínios. Onde f ∘ g = f ( g x ) , g ∘ f = g ( f x ) , f ∘ f = f ( f x ) e g ∘ g = g ( g x ) .

Aqui nós temos um valor x e uma função f que associa a ela uma imagem y = f ( x ) . Depois a gente tem uma outra função g que associa um valor y a outra imagem w :

w = g ( y )

Então, é só substituir o valor de y ali dentro para obter w = g ( f x ) , que é a função composta “ g de f de x ” ou g ∘ f . É isso que nós vamos fazer em cada caso, substituindo uma função na outra.

Vamos lá!

Passo 2

Para f x = 2 x + 3 e g x = 4 x - 1 na letra a), vamos calcular f ∘ g :

f ∘ g = f g x

Vamos aplicar g ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ g = 2 ( 4 x - 1   ) + 3

f ∘ g = 8 x + 1

Para calcular g ∘ f = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de g ( x ) :

  g ∘ f = 4 ( 2 x + 3   ) - 1

g ∘ f = 8 x + 11

Para calcular f ∘ f = f ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ f = 2 ( 2 x + 3   ) + 3

f ∘ f = 4 x + 9

Para calcular g ∘ g = g ( g x ) , vamos substituir g ( x ) dentro de g ( x ) :

g ��� g = 4 ( 4 x - 1   ) - 1

g ∘ g = 8 x - 5

Passo 3

Para f x = x 2 e g x = x + 1 na letra b), vamos calcular f ∘ g :

f ∘ g = f g x

Vamos aplicar g ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ g = x + 1 2

f ∘ g = x 2 + 2 x + 1

Para calcular g ∘ f = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de g ( x ) :

  g ∘ f = x 2 + 1

Para calcular f ∘ f = f ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ f = x 2 2

f ∘ f = x 4

Para calcular g ∘ g = g ( g x ) , vamos substituir g ( x ) dentro de g ( x ) :

g ∘ g = ( x + 1   ) + 1

g ∘ g = x + 2

Passo 4

Para f x = x 2 e g x = x - 3 na letra c), vamos calcular f ∘ g :

f ∘ g = f g x

Vamos aplicar g ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ g = x - 3 2

f ∘ g = x - 3

Para calcular g ∘ f = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de g ( x ) :

  g ∘ f = x 2 - 3

Para calcular f ∘ f = f ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ f = x 2 2

f ∘ f = x 4

Para calcular g ∘ g = g ( g x ) , vamos substituir g ( x ) dentro de g ( x ) :

g ∘ g = ( x - 3 ) - 3

Passo 5

Para f x = x x + 1 e g x = 2 x - 1 na letra d), vamos calcular f ∘ g :

f ∘ g = f g x

Vamos aplicar g ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ g = ( 2 x - 1   ) ( 2 x - 1   ) + 1

f ∘ g = 2 x - 1 2 x

Para calcular g ∘ f = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de g ( x ) :

  g ∘ f = 2 x x + 1 - 1

g ∘ f = 2 x x + 1 - 1 = x - 1 x + 1

Para calcular f ∘ f = f ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ f = x x + 1   x x + 1   + 1

f ∘ f = x x + 1 ∙ x + 1 2 x + 1 = x 2 x + 1

Para calcular g ∘ g = g ( g x ) , vamos substituir g ( x ) dentro de g ( x ) :

g ∘ g = 2 ( 2 x - 1   ) - 1

g ∘ g = 4 x - 3

Passo 6

Para f x = x x + 1 e g x = 1 x na letra e), vamos calcular f ∘ g :

f ∘ g = f g x

Vamos aplicar g ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ g = 1 x 1 x + 1

f ∘ g = 1 x ∙ x 1 + x = 1 1 + x

Para calcular g ∘ f = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de g ( x ) :

  g ∘ f = 1 x x + 1

g ∘ f = x + 1 x

Para calcular f ∘ f = f ( f x ) , vamos substituir f ( x ) dentro de f ( x ) :

f ∘ f = x x + 1   x x + 1   + 1

f ∘ f = x x + 1 ∙ x + 1 2 x + 1 = x 2 x + 1

Para calcular g ∘ g = g ( g x ) , vamos substituir g ( x ) dentro de g ( x ) :

g ∘ g = 1 1 x

g ∘ g = x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) f ∘ g = 8 x + 1 , g ∘ f = 8 x + 11 , f ∘ f = 4 x + 9 , g ∘ g = 8 x - 5

b) f ∘ g = x 2 + 2 x + 1 , g ∘ f = x 2 + 1 , f ∘ f = x 4 , g ∘ g = x + 2

c) f ∘ g = x - 3 , g ∘ f = x 2 - 3 , f ∘ f = x 4 , g ∘ g = ( x - 3 ) - 3

d) f ∘ g = 2 x - 1 2 x , g ∘ f = x - 1 x + 1 , f ∘ f = x 2 x + 1 , g ∘ g = 4 x - 3

e) f ∘ g = 1 1 + x , g ∘ f = x + 1 x , f ∘ f = x 2 x + 1 , g ∘ g = x

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