Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Encontrar (se for possível) L e M de forma que a função dada seja contínua

f x = cos ⁡ x 2 ,   s e   x < 0 L x + M ,   s e   0 ≤ x ≤ π s e n   x ,   s e   x > π

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte...temos uma função f definida por partes, dada por:

f x = cos ⁡ x 2 ,   s e   x < 0 L x + M ,   s e   0 ≤ x ≤ π s e n   x ,   s e   x > π

Queremos determinar L e M de modo que f seja contínua, ou seja, que todos os pontinhos do seu gráfico estejam conectados.

Uma forma legal de visualizar a continuidade é imaginar que queremos desenhar o gráfico de f sem tirar o lápis do papel 😊

Para que f ( x ) seja contínua, como em cada intervalo temos funções que já são contínuas, basta que o ponto final de c o s x 2 seja conectado ao ponto inicial de s e n   x pela reta dada   L x + M . Dessa forma, temos:

  1. Para x = 0 ,
  2. cos ⁡ x 2 = cos ⁡ 0 = 1

    ⇒   ponto inicial da reta:   ( 0,1 )

  3. Para x = π ,

s e n   x = s e n   π = 0

⇒   ponto final da reta:   ( π , 0 )

Passo 2

Sabendo disso, determinamos:

L x + M = f x  

e m   0,1 ⇒ 0 + M = 1

∴ M = 1

Ainda:

L x + M = f x  

e m   π , 0 ⇒ L π + 1 = 0

∴ L = - 1 π

Logo, vamos ter que:

L x + M =   - x π + 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

M = 1

L = - 1 π

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