Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

  1. Considere as funções f e g definidas por

f x =   x ,     s e   x <   - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 - 5 ,     s e   x ≥ 0

E

g x =   - 2 x ,     s e   x < 0 x 2 + 1 ,     s e   x ≥ 0 .

O gráfico que melhor representa a função f + g é

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com um problema de gráficos de funções. Como temos a forma das duas funções

f x =   x ,     s e   x <   - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 - 5 ,     s e   x ≥ 0

E

g x =   - 2 x ,     s e   x < 0 x 2 + 1 ,     s e   x ≥ 0 .

Nossa tarefa é construir a função f + g a partir dessas informações e ver como que é o comportamento do gráfico dessa nova função em cada um dos intervalos. Vamos começar fazendo essa soma!

Passo 2

Para somar essas funções que são definidas em intervalos, a gente tem que somar as contribuições das funções no mesmo intervalo... como assim? Olha lá, se olhar a primeira parte de g ( x ) temos que ele é - 2 x quando o x é menor que zero. Então a gente soma - 2 x em cada parte de f ( x ) que tenha x < 0 :

f x + g x =   x - 2 x ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 - 2 x ,     s e - 1 ≤ x < 0   ? ? ?

A última parte a gente ainda não sabe. Arrumando essas expressões, temos

f x + g x =   - x ,     s e   x < - 1 x 2 - 2 x + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0   ? ? ?

Passo 3

Agora a gente tem que ver o comportamento da função nos outros intervalos. Como g x = x 2 + 1 para x ≥ 0 . Somamos x 2 + 1 em cada termo de f ( x ) nesse intervalo. Assim ó:

f x + g x =   - x ,     s e   x < - 1 x 2 - 2 x + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0   - 5 + x 2 + 1 ,       s e ≥ 0

Arrumando isso aí, temos a expressão completa da nossa função:

( f + g ) ( x ) =   - x ,     s e   x < - 1 x 2 - 2 x + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0   x 2 - 4 ,       s e ≥ 0

Agora só nos resta olhar o comportamento do gráfico de cada parte dessa função.

Passo 4

Para x < - 1 temos

f + g x =   - x

Isso é uma reta com inclinação negativa. Como não temos x =   - 1 , o que daria

f + g - 1 =   - - 1 = 1

ela deve ser aberta neste ponto. Beleza??Para - 1 ≤ x < 0 temos

f + g x =   x 2 - 2 x + 1

Essa função é uma parábola voltada para cima. Podemos pegar o seu valor nos extremos do intervalo para ter uma noção do seu comportamento: f + g - 1 =   - 1 2 - 2 - 1 + 1   = 4 f + g 0 =   1  

Não podemos esquecer que f + g é aberta em x = 0 , naquele 1 ali!

Passo 5

Para x ≥ 0 temos

f + g x =   x 2 - 4

Outra parábola voltada para cima!! No extremo temos

f + g 0 =   - 4

E já sabemos que ela cresce a partir deste ponto com o formato parabólico!Só para reunir tudo, temos que ter um gráfico que começa com uma reta de inclinação negativa até o ponto 1 e é aberta neste ponto. A partir daí temos uma parábola de concavidade para cima que começa em 4 e vai até o ponto 1 e é aberta neste ponto também. Por fim, temos outra parábola de concavidade para cima que começa no - 4 e cresce sem parar...Com isso, o gráfico tem que ser:

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra D.

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