Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g , em seguida, determine a composta h x = g ( f x ) .

a) g x = x - 1   e   f : A → R ,   f x = x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma função g ( x ) e uma função f ( x ) e pediu pra gente determinar o maior conjunto da imagem de f que esteja contido em g . Em seguida, determinar também a função composta g ( f x ) . Mas vamos por partes.

Como a gente pode determinar a imagem de f contida em g ? Primeiramente nós devemos determinar o domínio de g e a partir das restrições, nós determinamos a imagem de f . Vamos lá!

Passo 2

Repara que na função g nós temos uma raiz:

g x = x - 1

O quê que não pode acontecer nesse tipo de função? O nosso radicando não pode ser negativo, ou seja, ele precisa ser maior ou igual a zero:

x - 1 ≥ 0

Isolando o x :

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Isso significa que o domínio de g é dada por:

D g = [ 1 ,   + ∞ )

Passo 3

A imagem de f deve está contida nesse intervalo:

f x ≥ 1

Dessa forma, substituindo f temos:

x 2 ≥ 1

Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

x ≥ 1

Então, a imagem de f precisa estar em:

I m f = [ 1 ,   + ∞ )

Passo 4

Pra determinar a função composta h x = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) na função g :

g x = f ( x ) - 1

Substituindo a expressão:

g x = x 2 - 1

Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

I m f = [ 1 ,   + ∞ )

g x = x 2 - 1

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