Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

Ver Teoria

Enunciado

Determine o “maior” conjunto A tal que I m ( f ) ⊂ D g , em seguida, determine a composta h x = g ( f x ) .

d) g x = x 2 - 1 e f : A → R , f x = x 2 - 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar o “maior” conjunto A tal que I m ( f ) ⊂ D g . Quê que isso quer dizer? Repara que nós temos duas funções, f e g , e que a imagem de f está contida no domínio de g , ou seja I m ( f ) ⊂ D g . Tá, e daí? E daí que se a imagem de uma tá no domínio da outra significa que elas formam uma função composta:

h x = g ( f x )

E o enunciado pediu pra gente determinar essa função também. Mas, a primeira coisa que ele quer é que a gente determine o conjunto A , que nada mais é do que o domínio da função f . Pra fazer isso a gente vai precisar encontrar o domínio de g , D g , a imagem contida nesse domínio I m ( f ) e como elas formam uma função composta, poderemos encontrar o conjunto A .

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente devemos determinar o domínio de g . Como a gente faz isso? A nossa função g tem a forma:

g x = x 2 - 1

A precisa determinar os valores que x podem assumir pra determinar o domínio. E aí fica mais fácil a gente pensar, quais valores x não pode assumir nessa função?

Bom, nós temos uma raiz quadrada e nós sabemos que não dá pra ter raiz quadrada de número negativo. Então, o que tá dentro da raiz precisa ser positivo, ou seja, maior ou igual a zero:

x 2 - 1 ≥ 0

Isolando x , temos:

x 2 ≥ 1

Calculando a raiz dos dois lados, temos x ≥ ± 1 , então:

x ≥ 1       o u         x ≤ - 1

Esses valores os valores que x não pode assumir, então o domínio é todo o resto dos números reais, e nós podemos escrever:

D g = - ∞ ,   - 1   ∪     [ 1 ,   + ∞ )

Passo 3

Agora nós vamos encontrar a imagem de f , que deve está contida nesse domínio, ou seja, no intervalo que encontramos. Mas o que é a imagem de f ?

A imagem de f vai ser o nosso f ( x ) , que é valor associado a cada número real x . Mas, nesse caso, ela precisa dentro do domínio D g . Então vamos analisar cada intervalo do domínio:

Para f x ≥ 1 , temos a nossa f ( x ) :

x 2 - 2   ≥ 1

Isolando x :

x 2 ≥ 1 + 2 →     x 2 ≥ 3

Tirando a raiz dos dois lados:

x ≥ 3         e       x ≤ - 3

Agora para o segundo intervalo, f x ≤ - 1 . Assim,

x 2 - 2 ≤ - 1

Isolando x :

x 2 ≥ - 1 + 2   →     x 2 ≥ 1

Tirando a raiz dos dois lados:

x ≥ - 1       e       x ≤ 1

Juntando tudo nós temos o conjunto A dado por:

A = - ∞ ,   - 3 ∪ - 1 ,   1 ∪ [ 3 ,   + ∞ )

Passo 4

Agora nós podemos determinar a função composta h x = g ( f x ) .

Como temos g x = x 2 - 1 e f x = x 2 - 2 , e f é uma função de g , basta a gente substituir x 2 - 2 em g ( x ) :

h x = g f x = f ( x ) 2 - 1

h x = x 2 - 2 2 - 1

Expandindo a potência:

h x = x 2 2 - 2 ∙ x 2 ∙ 2 + 2 2 - 1

h x = x 4 - 4 x 2 + 4 - 1

h x = x 4 - 4 x 2 + 3

Prontinho, galera! Encerramos o exercício. 😉

Resposta

A = - ∞ ,   - 3 ∪ - 1 ,   1 ∪ [ 3 ,   + ∞ )

h x = x 4 - 4 x 2 + 3

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a função na forma f o g
Uma companhia de táxi cobra $2 pelo primeiro quilômetro (ou parte de quilômetro) e 20 centavos a cada décimo de quilômetro adicional (ou parte disso). Expresse o custo C (em dólares) de uma corrida co
Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:
Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:
Encontre f o g o h