Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Encontre h x , y se h = f   ∘ g , bem como o domínio de h ,

b )   f t = a r c t a n ⁡ ( t ) ,             g x , y = x 2 - y 2

Passo 1

Faaala gente bonita, tudo bom?

Nessa questão recebemos duas funções:

f t = arctan ⁡ ( t ) g x , y = x 2 - y 2

O enunciado nos pede para a partir disso calcular a função h , uma função composta, dada por:

h = f ∘ g

Para fazer isso, temos que calcular:

h = f g x , y

ou seja, no lugar do argumento t de f , estaremos colocando o resultado da função g ( x , y ) .

Sacaram?!

Além disso, também precisamos calcular o domínio de f .

Vamo nessa que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Bom, temos:

f t = arctan ⁡ ( t ) g x , y = x 2 - y 2

Como comentamos no passo anterior, precisamos fazer:

t = g x , y

Logo:

t = x 2 - y 2

Assim:

h = f ∘ g

∴ h ( x , y ) =   a r c t a n ( x 2 - y 2 )

Excelente! Descobrimos a função h .

Passo 3

Agora vamos pensar no domínio de h ( x , y ) . Analisando a função que encontramos no item anterior:

h x , y = arctan ⁡ ( x 2 - y 2 )

Como a função a r c t a n g e n t e não possui restrição no seu domínio, o termo:

x 2 - y 2

Pode assumir qualquer valor.

Porém, precisamos analisar a restrição da função g ( x , y ) . Como:

g x , y = x 2 - y 2

E, sabemos que o termo dentro de uma raiz quadrada não pode ser negativo, temos que:

x 2 - y 2 ≥ 0

⇒   x ≥ y ,     y ≥ 0 x ≤ y ,     y < 0

Resumindo essas condições escrevemos:

x ≥ | y |

Assim, podemos escrever o domínio de h como sendo:

D h = x , y ∈ R 2     x ≥ | y | }  

Excelente!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

h ( x , y ) =   a r c t a n ( x 2 - y 2 )

D h = x , y ∈ R 2     x ≥ | y | }

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