Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Verifique se existem as funções compostas f ∘ g e g ∘ f quando f e g são definidas tais como nos itens a seguir. Caso exista a composição, explicite qual é o seu domínio e contradomínio e, em seguida, determine a sua lei.

( c )   f : ℝ - { 2 } → ℝ tal que f ( x ) = x + 1 x - 2 e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = 2 x + 3 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Precisamos verificar se as funções compostas f ∘ g e g ∘ f existem, assim como, encontrar o domínio e contradomínio das mesmas, por último, devemos também escrever a lei da função, ou seja, seu formato em termos de x . Mas como fazemos isso? Vamos definir a composição como

h ( x ) = f ∘ g = f [ g ( x ) ]

para que f ∘ g exista é necessário que o domínio de f seja igual ao contradomínio de g ! A análise para g ∘ f é análoga! As nossas funções foram dadas como

f : ℝ - { 2 } → ℝ tal que f ( x ) = x + 1 x - 2 e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = 2 x + 3 .

Isso é informação suficiente para nossa questão! Vamos lá!

Passo 2

Temos que f tem como domínio os reais menos o valor x = 2 , que é parte do contradomínio de g ( x ) , pois temos que para x = - 1 2 ∈ ℝ , obtemos g ( - 1 / 2 ) = 2 . Portanto, x = - 1 / 2 não fará parte do domínio de nossa composta para que a composta exista

f ∘ g = f [ g ( x ) ] = [ 2 x + 3 ] + 1 [ 2 x + 3 ] - 2

Agora, para a outra composta, temos

g ∘ f = g [ f ( x ) ] = 2 [ x + 1 x - 2 ] + 3

o domínio dessa composta não irá conter o valor x = 2 , mas o contradomínio de f são os reais, e como g ( x ) é um polinômio de primeira ordem, o contradomínio da composta será todos os reais. Vamos escrever as leis!

Passo 3

Usando que g ( x ) = 2 x + 3 , temos que

f ∘ g = 2 x + 4 2 x + 1 = x + 2 x + 1 / 2

que está em sua forma mais simples. Agora, usando que f ( x ) = x + 1 x - 2 , temos que

g ∘ f = 2 [ x + 1 x - 2 ] + 3 = 2 [ x + 1 ] + 3 [ x - 2 ] x - 2

em que fiz um MMC para realizar a soma dos dois termos, simplificando, temos

g ∘ f = 2 x + 2 + 3 x - 6 x - 2 = 5 x - 4 x - 2

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Temos que f ∘ g = x + 2 x + 1 / 2 tal que ℝ - { 1 / 2 } → ℝ e   g ∘ f = 5 x - 4 x - 2 tal que ℝ - { 2 } → ℝ .

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