Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Encontre h x , y se h = f   ∘ g , bem como o domínio de h ,

a )   f t = a r c s e n t ,             g x , y = 1 - x 2 - y 2

Passo 1

E aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos duas funções:

f t = a r c s e n t g x , y = 1 - x 2 - y 2

O enunciado nos pede para a partir disso calcular a função h , uma função composta, dada por:

h = f ∘ g

Para fazer isso, temos que calcular:

h = f g x , y

ou seja, no lugar do argumento t de f , estaremos colocando o resultado da função g ( x , y ) .

Sacaram?!

Além disso, também precisamos calcular o domínio de f .

Vamo nessa que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Bom, temos:

f t = a r c s e n t g x , y = 1 - x 2 - y 2

Como comentamos no passo anterior, precisamos fazer:

t = g x , y

Logo:

t = 1 - x 2 - y 2

Assim:

h = f ∘ g

∴ h ( x , y ) =   a r c s e n ( 1 - x 2 - y 2 )

Excelente! Descobrimos a função h .

Passo 3

Agora precisamos calcular o seu domínio. Vamos analisar a função h :

h x , y =   a r c s e n 1 - x 2 - y 2

A restrição da função arcoseno é que o termo dentro da função [ - 1 ,   1 ] , pois ele é resultado do seno de h .

Assim, temos:

- 1 ≤ 1 - x 2 - y 2 ≤ 1

Como a raiz quadrada é sempre maior do que zero, vamos nos preocupar apenas com a segunda parte da inequação:

1 - x 2 - y 2 ≤ 1

∴ 1 - x 2 - y 2 ≤ 1

Logo:

x 2 + y 2 ≥ 0

Isso é sempre verdade! Será que o domínio inclui então qualquer valor de ( x , y ) ?

Nãooo, aqui precisamos tomar cuidado com a restrição no domínio da nossa função interior também.

Como:

g x , y = 1 - x 2 - y 2

E, o termo dentro da raiz precisa sempre ser maior ou igual a zero, temos que:

1 - x 2 - y 2 ≥ 0

∴ x 2 + y 2 ≤ 1

Ou seja, trata-se de uma circunferência centrada em ( 0,0 ) e com raio igual a 1 . Esse é o domínio de h . Portanto:

D h = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≤ 1 }  

Prontinho!

Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😊

Resposta

h ( x , y ) =   a r c s e n ( 1 - x 2 - y 2 )

D h = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≤ 1 }

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