Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Verifique se existem as funções compostas f ∘ g e g ∘ f quando f e g são definidas tais como nos itens a seguir. Caso exista a composição, explicite qual é o seu domínio e contradomínio e, em seguida, determine a sua lei.

( a )   f : ℝ → ℝ tal que f ( x ) = x 2 + 4 x - 5 e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = 2 x - 3 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Precisamos verificar se as funções compostas f ∘ g e g ∘ f existem, assim como, encontrar o domínio e contradomínio das mesmas, por último, devemos tamb��m escrever a lei da função, ou seja, seu formato em termos de x . Mas como fazemos isso? Vamos definir a composição como

h ( x ) = f ∘ g = f [ g ( x ) ]

para que f ∘ g exista é necessário que o domínio de f seja igual ao contradomínio de g ! A análise para g ∘ f é análoga! As nossas funções foram dadas como

f : ℝ → ℝ tal que f ( x ) = x 2 + 4 x - 5 e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = 2 x - 3 .

Isso é informação suficiente para nossa questão! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, temos que f e g são ambas definidas tal que ℝ → ℝ , portanto, o contradomínio e domínio de ambas são iguais, e isso garante a existência de f ∘ g e g ∘ f . Sem limitações alguma, teremos que o domínio e contradomínio de ambas, continuarão sendo os reais. Vamos montar a lei individual para cada uma agora, temos que

f ∘ g = f [ g ( x ) ] = [ g ( x ) ] 2 + 4 [ g ( x ) ] - 5

e, analogamente

g ∘ f = g [ f ( x ) ] = 2 [ f ( x ) ] - 3

Vamos simplificar essas expressões no próximo passo! Vem comigo!

Passo 3

Usando que g ( x ) = 2 x - 3 , temos que

f ∘ g = [ 2 x - 3 ] 2 + 4 [ 2 x - 3 ] - 5 = 4 x 2 - 12 x + 9 + 8 x - 12 - 5

Juntando os termos equivalentes temos que

f ∘ g = 4 x 2 - 4 x - 8

Agora, usando que f ( x ) = x 2 + 4 x - 5 , temos que

g ∘ f = 2 [ x 2 + 4 x - 5 ] - 3 = 2 x 2 + x - 13

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Temos que f ∘ g = 4 x 2 - 4 x - 8 e g ∘ f = 2 x 2 + x - 13 ambas tais que ℝ → ℝ .

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