Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g , em seguida, determine a composta h x = g ( f x ) .

a) g x = 2 x + 2   e   f : A → R ,   f x = x + 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma função g ( x ) e uma função f ( x ) e pediu pra gente determinar o maior conjunto da imagem de f que esteja contido em g . Em seguida, determinar também a função composta g ( f x ) . Mas vamos por partes.

Como a gente pode determinar a imagem de f contida em g ? Primeiramente nós devemos determinar o domínio de g e a partir das restrições, nós determinamos a imagem de f . Vamos lá!

Passo 2

Repara que na função g nós temos uma fração:

g x = 2 x + 2

O quê que não pode acontecer nesse tipo de função? O nosso denominador não pode ser zero, certo? Ou seja:

x + 2 ≠ 0

Isolando o x :

x ≠ - 2

Isso significa que o domínio de g é dada por:

D g = x ∈ R   |   x ≠ - 2

Passo 3

A imagem de f deve está contida nesse intervalo:

( - ∞ ,   - 2 ) ∪ ( - 2 ,   + ∞ )

Vamos pegar o primeiro intervalo, onde:

x < - 2

Dessa forma, substituindo f temos:

x + 3 < - 2

Isolando x :

x < - 2 - 3

x < - 5

Agora para o intervalo ( - 2 ,   + ∞ ) , temos:

x > - 2

Pra f contido nele, temos:

x + 3 > - 2

x > - 2 - 3

x > - 5

Então, a imagem de f precisa estar em:

I m f = ( - ∞ ,   - 5 ) ∪ ( - 5 ,   + ∞ )

Passo 4

Pra determinar a função composta h x = g ( f x ) , vamos substituir f ( x ) na função g :

g x = 2 f ( x ) + 2

Substituindo a expressão:

g x = 2 x + 3 + 2

g x = 2 x + 5

Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

I m f = ( - ∞ ,   - 5 ) ∪ ( - 5 ,   + ∞ )

g x = 2 x + 5

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