Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

Ver Teoria

Enunciado

Sejam as funções f x = x e g x = 1 + sin ⁡ x . Determine a expressão de f ∘ g x , dê seu domínio, e dê a equação da reta que é tangente ao gráfico de f ∘ g x quando x = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos descobrir a função composta f ∘ g , seu domínio e a equação da reta que é tangente ao gráfico de f ∘ g x quando x = 0 , sendo que:

f x = x

g x = 1 + sin ⁡ x

Eita... muita coisa, né? Mas vamos devagarinho...

Primeiramente... o que é essa função composta??

Então... Função composta é a aplicação de uma função em outra função, conhecida também como função de função.

Dada a função f :   A   →   B e g :   B   →   C , a função composta de f com g pode ser representada por f ∘ g :   A   →   C , que nada mais é que a composição f ( g ( x ) ) .

Em seguida, vamos apresentando os outros termos que a questão pede, combinado?

Agora vamos aplicar esse conceito na nossa função!!

😉

Passo 2

Assim, para a função composta f ( g ( x ) ) , ou seja, substituindo g x na função f x , temos:

f x = x ∴

f g x = 1 + sin ⁡ x

Agora temos que determinar o domínio D .

Para isso, precisamos considerar que a raiz quadrada só está definida para valores não negativos.

Portanto, o domínio da função f g x será limitado pelos valores de sin ⁡ x que tornam 1 + sin ⁡ x não negativo.

Dessa forma, sabemos que a função seno varia da seguinte forma:

- 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Assim, adicionando 1 , vemos:

- 1 + 1 ≤ sin ⁡ x + 1 ≤ 1 + 1 ∴

0 ≤ sin ⁡ x + 1 ≤ 2

Logo, como 1 + s i n ( x ) é sempre maior ou igual a zero para todos os valores de x , não há restrições no domínio em termos de s i n ( x ) .

Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais, ou seja, R .

Passo 3

Por fim, a questão nos pede a equação da reta que é tangente ao gráfico de f ∘ g x quando x = 0 .

Em outras palavras, a questão quer que derivemos f g x e, em seguida, substituiremos x = 0 .

A gente acabou de ver que

f g x = 1 + sin ⁡ x

Logo, pela regra da cadeia, a derivada é dadapor:

f g x ' = 1 2 1 + sin ⁡ x d d x 1 + sin ⁡ x ∴

f g x ' = cos ⁡ x 2 1 + sin ⁡ x

Assim, no ponto x = 0 , temos:

f g 0 ' = cos ⁡ 0 2 1 + sin ⁡ 0 ∴

f g 0 ' = 1 2 1 + 0 ∴

f g 0 ' = 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f g x = 1 + sin ⁡ x

D f g x = x ∈ R

f g 0 ' = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a função na forma f o g
Uma companhia de táxi cobra $2 pelo primeiro quilômetro (ou parte de quilômetro) e 20 centavos a cada décimo de quilômetro adicional (ou parte disso). Expresse o custo C (em dólares) de uma corrida co
Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:
Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:
Encontre f o g o h