Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Sejam f x = ln ⁡ x e g x = 2 + x x 2 + 1 . Determine a composta f ∘ g e seu domínio.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos descobrir a função composta f ∘ g e seu domínio sendo que:

f x = ln ⁡ x

g x = 2 + x x 2 + 1

Mas o que é essa função composta??

Então... Função composta é a aplicação de uma função em outra função, conhecida também como função de função.

Dada a função f :   A   →   B e g :   B   →   C , a função composta de f com g pode ser representada por f ∘ g :   A   →   C , que nada mais é que a composição f ( g ( x ) ) .

Agora vamos aplicar esse conceito na nossa função!!

😉

Passo 2

Assim, para a função composta f ( g ( x ) ) , ou seja, substituindo g x na função f x , temos:

f x = ln ⁡ x ∴

f g x = ln ⁡ 2 + x x 2 + 1

Agora temos que determinar o domínio D .

Para isso, o domínio de f g x é o conjunto de valores de x para os quais a expressão dentro do logaritmo é positiva.

Isso ocorre porque o logaritmo natural l n só está definido para números positivos.

Passo 3

Assim, para encontrar o domínio, temos que resolver a seguinte desigualdade:

2 + x x 2 + 1 > 0

Primeiro, note que x 2 + 1 é sempre positivo, pois a soma de um quadrado e 1 é sempre maior que zero. Portanto, não precisamos nos preocupar com o denominador sendo zero.

Agora, vamos considerar o numerador 2 + x . Para determinar quando essa expressão é positiva, precisamos considerar os casos em que x é positivo, negativo ou zero.

  1. Para x > 0 :
  2. Nesse caso, x = x , e a expressão 2 + x é positiva.

    Dessa forma, a fração 2 + x x 2 + 1 é positiva.

  3. Para x < 0 :
  4. Nesse caso, x = - x , e a expressão 2 + x também é positiva.

    Dessa forma, a fração 2 + x x 2 + 1 é positiva.

  5. Para x = 0 :

Nesse caso, x = 0 , e a expressão 2 + x é positiva.

Dessa forma, a fração 2 + x x 2 + 1 é positiva.

Nesse sentido, como não houve nenhuma restrição, podemos concluir que o domínio D são todos os números reais!!

D f g x = x ∈ R

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f g x = ln ⁡ 2 + x x 2 + 1

D f g x = x ∈ R

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