Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

(a)Determinar a função composta R x = f g x , se:

f x = 0 ,   s e   x < 0 x 2 ,   s e   0 ≤ x ≤ 1 0 ,   s e   x > 1

g x = 1 ,   s e   x < 0 2 x ,   s e   0 ≤ x ≤ 1 1 ,   s e   x > 1

(b) Qual é o domínio de R ( x ) ?

(c) Construir gráfico de R ( x ) .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... a questão nos dá duas funções f ( x ) e g ( x ) e seus respectivos comportamentos e nos pergunta a função composta R x = f g x , o domínio dela e seu gráfico. Lembrando que:

g x = 1 ,   s e   x < 0 2 x ,   s e   0 ≤ x ≤ 1 1 ,   s e   x > 1

Agora vamos pegar cada intervalo, analisar e aplicar na função composta!!

Passo 2

Dessa forma, como R x = f g x , analisamos os valores de R para os seguintes intervalos de x , representados por 1), 2) e 3):

  1. Para x < 0 :
  2. g x = 1 ∴ R x < 0 = f 1 = 1

  3. Para 0 ≤ x ≤ 1 :
  4. g x = 2 x

    Dividindo em dois intervalos distintos, temos:

    2.1) Para 0 ≤ x ≤ 0,5 :

    R 0 ≤ x ≤ 0,5 = f g x = 2 x 2 = 4 x 2

    2.2) Para 0,5 ≤ x ≤ 1 :

    g x > 1 ,   R 0,5 ≤ x ≤ 1 = f x > 1 = 0  

    E, por fim, para o último caso

  5. Para x > 1 : g x = 1 ∴ R x > 1 = f 1 = 1

Dessa forma, temos que:

R x = 1 ,   s e   x < 0 4 x 2 ,   s e   0 ≤ x ≤ 0,5 0 ,   s e   0,5 < x ≤ 1 1 ,   s e   x > 1

Passo 3

Na letra (b), como a função apresenta descontinuidade, seu domínio são todos os valores reais de x , exceto quando x estiver no intervalo 0 ≤ x ≤ 0,5 , como você verá no gráfico do próximo passo 😉.

Passo 4

Plotando o gráfico e selecionando os intervalos que obtivemos da função composta, temos:

Perceba que:

R x = 1 ,   s e   x < 0 4 x 2 ,   s e   0 ≤ x ≤ 0,5 0 ,   s e   0,5 < x ≤ 1 1 ,   s e   x > 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. R x = 1 ,   s e   x < 0 4 x 2 ,   s e   0 ≤ x ≤ 0,5 0 ,   s e   0,5 < x ≤ 1 1 ,   s e   x > 1
  2. como a função não apresenta descontinuidade, seu domínio são todos os valores reais de x .

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