Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Determine a função composta g ∘ f ( x ) e simplifique o resultado sabendo que

f x = x - 2 x - 1

g x = 1 + 1 x - 2

  1. - 1 + x 2
  2. 1 - 3 x - 2
  3. 1 + 1 x - 1
  4. - 1 + 1 x
  5. 1 x

Passo 1

Fala aí, galerinhaaaaa! Quem está pronto para arrasar? Eu espero que você esteja, porque não temos outra saída para esse problema!

Primeira coisa que temos que saber nessa questão é que ter uma função composta por outra como:

g ∘ f x

Significa que vamos usar a expressão de f ( x ) no lugar do x da função g ( x ) , então coragem, levanta a peruca e vamos lá!

Passo 2

Vamos para o primeiro passo prático, pessoal! A expressão de f ( x ) é:

f x = x - 2 x - 1

Enquanto a expressão g x :

g x = 1 + 1 x - 2

A função composta:

g ∘ f x

É aplicar a expressão f ( x ) dentro de g ( x ) no seu lugar de x :

g f ( x ) = 1 + 1 x - 2 x - 1 - 2

Passo 3

Agora que temos a expressão, vamos trabalhar essa expressão até chegar em uma coisa mais simples. Começando por chegar em um denominador mais simples:

g ∘ f x = 1 + 1 x - 2 x - 1 - 2

g ∘ f x = 1 + 1 x - 2 - 2 ⋅ x - 1 x - 1

g ∘ f x = 1 + 1 x - 2 - 2 x + 2 x - 1

Logo chegamos nesse novo denominador:

g ∘ f x = 1 + 1 - x x - 1

Como temos o número 1 no numerador de uma fração que tem no denominador outra fração, então podemos inverter a fração do denominador:

g ∘ f x = 1 - x - 1 x

Vamos simplificar tudo em uma fração só:

g ∘ f x = x - x - 1 x = x - x + 1 x

Chegamos no final a expressão:

g ∘ f x = 1 x

Acabou, Jéssica? Acabei sim e arrasei! Força pro próximo, meu consagrado!

Resposta

e )             1 x

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