Exercícios Resolvidos de Funções Compostas e Funções definidas por Partes

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Enunciado

Verifique se existem as funções compostas f ∘ g e g ∘ f quando f e g são definidas tais como nos itens a seguir. Caso exista a composição, explicite qual é o seu domínio e contradomínio e, em seguida, determine a sua lei.

( d )   f : ℝ → ℝ tal que

e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = 2 x + 3 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Precisamos verificar se as funções compostas f ∘ g e g ∘ f existem, assim como, encontrar o domínio e contradomínio das mesmas, por último, devemos também escrever a lei da função, ou seja, seu formato em termos de x . Mas como fazemos isso? Vamos definir a composição como

h ( x ) = f ∘ g = f [ g ( x ) ]

para que f ∘ g exista é necessário que o domínio de f seja igual ao contradomínio de g ! A análise para g ∘ f é análoga! As nossas funções foram dadas como

f : ℝ → ℝ tal que

e g : ℝ → ℝ tal que g ( x ) = 2 x + 3 . Isso é informação suficiente para nossa questão! Vamos lá!

Passo 2

A função f tem como domínio todos os reais e também tem como contradomínio todo os reais, g ( x ) é um polinômio de primeira ordem, de domínio real e contradomínio real, sendo assim, ambas as compostas terão domínio e contradomínio real! Só precisamos montar as suas leis! Temos que

g ∘ f = g [ f ( x ) ]

Como f ( x ) é definida em dois intervalos, a nossa composta será dividida em duas partes, da seguinte maneira

g ∘ f = 2 [ x 2 - 4 x + 3 ] - 3 = 2 x 2 - 8 x + 3 ,   s e   x ≥ 2 e g ∘ f = 2 [ 2 x - 3 ] = 4 x - 6 ,   s e   x < 2

Da mesma forma, temos que a outra composta será dividida em duas partes

f ∘ g = [ 2 x - 3 ] 2 - 4 [ 2 x - 3 ] + 3 ,   s e   x ≥ 2 e f ∘ g = 2 [ 2 x - 3 ] + 3   x < 2

ou, simplificando, temos que

f ∘ g = 4 x 2 - 20 x ,   s e   x ≥ 2 e f ∘ g = 4 x - 3 ,   s e   x < 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Temos que g ∘ f = 2 [ x 2 - 4 x + 3 ] - 3 = 2 x 2 - 8 x + 3 ,   s e   x ≥ 2 e g ∘ f = 2 [ 2 x - 3 ] = 4 x - 6 ,   s e   x < 2 e f ∘ g = 4 x 2 - 20 x ,   s e   x ≥ 2 e f ∘ g = 4 x - 3 ,   s e   x < 2 . Ambas definidas tal que ℝ → ℝ .

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