Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

a) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 2 - 4 - x 2 3 x + 2

Passo 1

Vamos lá. Como o primeiro passo na hora de calcular um limite é checar o que acontece se a gente substituir, partiu então. Substituindo, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 2 - 4 - x 2 3 x + 2 =   ∞ - ∞

Opa, temos ai uma identerminação! Não pode! Vamos tentar reescrever então esse limite pra sumir com ela!

Passo 2

Quando temos a diferença de frações de polinômio, uma ideia pra sumir com a indeterminação é a gente tentar escrever tudo como uma coisa só. Então vamos lá! Multiplicando pra deixar os denominadores iguais, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 2 - 4 - x 2 3 x + 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x + 2 3 x 2 - 4 3 x + 2 - x 2 3 x 2 - 4 3 x 2 - 4 3 x + 2 =

= lim x → + ∞ ⁡ 3 x 4 + 2 x 3 9 x 3 + 6 x 2 - 12 x - 8 - 3 x 4 - 4 x 2 9 x 3 + 6 x 2 - 12 x - 8 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 3 + 4 x 2 9 x 3 + 6 x 2 - 12 x - 8

Ok, ainda não sumiu a indeterminação. Na verdade, o tipo de indeterminação até mudou:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 3 + 4 x 2 9 x 3 + 6 x 2 - 12 x - 8 =   + ∞ + ∞

Mas veja bem: temos em cima e em baixo dois polinômios de terceiro grau! Olha só o que acontece se colocarmos x 3 em evidência:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 3 + 4 x 2 9 x 3 + 6 x 2 - 12 x - 8 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 2 + 4 x x 3 9 + 6 x - 12 x 2 - 8 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 2 + 4 x 9 + 6 x - 12 x 2 - 8 x 3

Agora sim, se aplicarmos o limite, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ 2 + 4 x 9 + 6 x - 12 x 2 - 8 x 3 = 2 + 0 9 + 0 - 0 - 0 = 2 9

O limite vai ser então:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 2 - 4 - x 2 3 x + 2 = 2 9

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 2 - 4 - x 2 3 x + 2 = 2 9

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