1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

β ) lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3 + x c o s x x 4 s e n 1 x + 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que calcular o limite da função f x = 3 x 3 + x c o s x x 4 s e n 1 x + 1 .

E aí! Como fazemos isso? 🤔

De maneira geral, o limite de uma função resulta no valor em que ela tende a assumir quando x tende a um valor.

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por + ∞ e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Então vamos tentar manipular o limite de modo a contornar essa indeterminação

Veja só! 😊

Passo 2

A função é dada por

f x = 3 x 3 + x c o s x x 4 s e n 1 x + 1

Vamos dividir o numerador e o denominador pela variável de maior grau do numerador, ou seja, por x 3

f x = 3 x 3 + x c o s x x 3 x 4 s e n 1 x + 1 x 3

f x = 3 + c o s x x 2 x s e n 1 x + 1 x 3

Aplicando o limite, temos

lim x → + ∞ ⁡ 3 + c o s x x 2 x s e n 1 x + 1 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 3 + c o s x x 2 lim x → + ∞ ⁡ x s e n 1 x + 1 x 3

No numerador, perceba que se x tende a , o termo c o s x x 2 tende a 0 , pois c o s x está contido no intervalo de - 1 a 1 e o denominador x 2 tende a .

Portanto

lim x → + ∞ ⁡ 3 + c o s x x 2 = 3

Já o denominador lim x → + ∞ ⁡ x s e n 1 x + 1 x 3 pode ser reescrito como

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 1 x + 1 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ s e n 1 x 1 x + 1 x 3

O termo s e n 1 x 1 x resulta em 1 pela propriedade lim x → ∞ ⁡ s e n a a = 1 e também o termo 1 x 3 tende a 0 .

Assim

lim x → + ∞ ⁡ s e n 1 x 1 x + 1 x 3 = 1

Logo, o limite dado no problema é

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3 + x c o s x x 4 s e n 1 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 3 + c o s x x 2 x s e n 1 x + 1 x 3 = 3 1

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3 + x c o s x x 4 s e n 1 x + 1 = 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3 + x c o s x x 4 s e n 1 x + 1 = 3

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Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
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