11.1 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

b) lim x → ∞ ⁡ x 2 sen 2 ⁡ 3 x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite lim x → ∞ ⁡ x 2 sen 2 ⁡ 3 x .

Pra isso vamos usar algumas propriedades de limites e também o teorema do confronto.

Passo 2

Podemos reescrever esse limite como:

lim x → ∞ ⁡ x 2 sen 2 ⁡ 3 x = lim x → ∞ ⁡ 1 sen 2 ⁡ 3 x x 2

E pela propriedade de que o limite da divisão é a divisão dos limites, temos:

= lim x → ∞ ⁡ 1 lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ 3 x x 2

= 1 lim x → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ 3 x x 2

Também podemos desmembrar:

= 1 lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x sen ⁡ 3 x x

Usando a propriedade de que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites:

= 1 lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x

Passo 3

Calculando lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ...

Vamos lembrar que qualquer função seno está entre -1 e 1, então:

- 1 ≤ sen ⁡ 3 x ≤ 1

Dividindo cada um por x :

- 1 x ≤ sen ⁡ 3 x x ≤ 1 x

Aplicando o limite de x tendendo a infinito em cada:

lim x → ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ≤ lim x → ∞ ⁡ 1 x

0 ≤ lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = 0

Substituindo na equação do final do passo 2:

= 1 lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x

= 1 0

= ∞

Resposta

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Calcule o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ 1 t 1 + t - 1 t
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
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Encontre o limite ou demonstre que não existe. lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x
Calcule. lim x → 2 + ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 x + 4