2. Calcule os limites abaixo

l. lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos o seguinte limite para resolver:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x

O primeiro passo sempre é substituir o valor que o limite está indo na função e ver quanto dá. Se fizermos isso nesse caso, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x = ∞ ∞ - ∞

Dá vontade de dizer que isso vai para 0 , mas temos que lembrar é um número muuuuuuuito grande que não está definido. Então o que temos é uma indeterminação.

Então bora sair dessa indeterminação?

Passo 2

Então, galerinha, aqui nós temos uma diferença com um termo sendo uma raiz. Sempre que isso aparecer o bizu é multiplicar pelo conjugado!

Vamos multiplicar nossa função, embaixo e em cima, pelo conjugado dela. Fica assim:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x . x 2 + 1 + x x 2 + 1 + x

= lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 + x

= lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 + x

Calculando esse limite, ficamos com,

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 + x = ∞ ∞

Opaaa! Chegamos em outro tipo de indeterminação, mas a gente consegue sair dessa também.

Passo 3

Galerinha, sempre que a gente tiver uma divisão de polinômios que vai gerar uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , a dica é: colocar o x n (onde n é o maior grau) em evidência.

Fica assim:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 + x = lim x → + ∞ ⁡ x x 1 + 1 x 2 + 1

Opaaa, se ligou por quê fizemos isso? Agora a gente pode simplificar e ficamos assim:

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x 2 + 1

Agora vamos substituir + ∞ , nesse limite!

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x 2 + 1 = 1 1 + 1 ∞ 2 + 1

Repara que temos algumas constantes dividindo por , que não é um valor definido. Mas se pensarmos que temos toda constante dividindo por um número muuuuuito grande, teremos com resultado um valor muuuuuuito pequeno, que se aproximará de zero. Logo,

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x 2 + 1 = 1 1 + 0 + 1 = 1 2

Prontinho!

Resposta

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)