Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

Calcule o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + 2 x

Passo 1

A primeira coisa que faremos aqui é substituir o limite para ver o que acontece:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + 2 x = ∞ - ∞

Ou seja, temos aqui uma indeterminação. Precisamos manipular o limite para chegar no resultado.

Passo 2

Show, vamos tentar mudar essa indeterminação para 0 / 0 ou ∞ / ∞ que é mais fácil de lidar. Para tal, podemos multiplicar e dividir tudo pelo conjugado: lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + 2 x ⋅ x 2 + x + x 2 + 2 x x 2 + x + x 2 + 2 x  

Como a - b a + b = a 2 - b 2 :

… = lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + 2 x x 2 + x + x 2 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ - x x 2 + x + x 2 + 2 x = - ∞ ∞

Passo 3

Legal, agora temos uma fração com polinômios e x → ∞ . Para resolver isso, vamos deixar o maior grau em evidência em cima e embaixo.

lim x → ∞ ⁡ - x x 2 + x + x 2 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ - x x 2 1 + 1 x + x 2 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ - x x 1 + 1 x + x 1 + 2 x

Como x → ∞ , que é positivo, x = x . Assim:

lim x → ∞ ⁡ - x x 1 + 1 x + x 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ - x x 1 + 1 x + 1 + 2 x

Cortando numerador e denominador:

lim x → ∞ ⁡ - x x 1 + 1 x + 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ - 1 1 + 1 x + 1 + 2 x

Passo 4

Agora podemos jogar o limite para dentro usando a propriedade do limite e continuidade:

lim x → ∞ ⁡ - 1 1 + 1 x + 1 + 2 x = - 1 1 + l i m x → ∞ 1 x + 1 + l i m x → ∞ 2 x = - 1 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + 2 x = - 1 2

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