6. Calcule os seguintes limites:

k) lim x → ∞ ⁡ x 3 e - x 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter o limite da função f x = x 3 e - x 2 para quando x tende a .

Como vamos fazer isso? 🤔

O limite de uma função descreve o comportamento de uma função à medida que a variável x se aproxima de um determinado valor.

Nesse caso, queremos descobrir o limite

lim x → ∞ ⁡ x 3 e - x 2

Manipulando a função, temos que

f x = x 3 e - x 2 = x 3 e x 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Se aplicarmos o método de substituição agora, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ , então temos que usar algum método matemático para obter esse limite.

No caso de resultar uma indeterminação, a melhor maneira de se calcular o limite é aplicando a regra de L ' H o p i t a l !

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite até encontrar um resultado.

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ d x 3 d x d e x 2 d x

Derivando x 3 pelo método de derivação polinomial e e x 2 pela regra da cadeia, temos

d x 3 d x = 3 x 2

d e x 2 d x = d x 2 d x · d e x 2 d x 2 = 2 x e x 2

Substituindo no limite...

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 2 x e x 2 = ∞ ∞

Ainda não deu certo, vamos aplicar o método novamente! 😐

Passo 3

Derivando 3 x 2 pelo método de derivação polinomial e 2 x e x 2 pela regra do produto e pela regra da cadeia...

d 3 x 2 d x = 6 x

d 2 x e x 2 d x = d 2 x d x · e x 2 + 2 x · d e x 2 d x = 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2

Substituindo no limite...

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 6 x 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 = ∞ ∞

Estamos quase lá! Mas vamos ter que aplicar o método mais uma vez.

Derivando 6 x pelo método de derivação polinomial e 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 pela regra do produto e pela regra da cadeia novamente...

d 6 x d x = 6

d 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 d x = d 2 e x 2 d x + d 4 x 2 e x 2 d x = 2 d e x 2 d x + 4 d x 2 d x · e x 2 + x 2 · d e x 2 d x

d 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 d x = 4 x e x 2 + 4 2 x e x 2 + 2 x 3 e x 2

Substituindo no limite

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 6 4 x e x 2 + 4 2 x e x 2 + 2 x 3 e x 2 = 6 ∞

Portanto, se temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, que tende ao infinito, o resultado é um número tão pequeno que tende a 0 .

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = 0

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)