Considere a afirmação “Sejam f , g funções tais que lim x → ∞  ⁡ f ( x ) = + ∞ e g é limitada. Então lim x → ∞  ⁡ f ( x ) g ( x ) = + ∞ ”. É correto dizer

  1. Tal afirmação é verdadeira
  2. Tal afirmação é verdadeira se supomos que lim x → ∞  ⁡ g ( x ) ≠ 0
  3. Tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum r > 0 tal que g x > r para todo x ∈ R
  4. Tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum r > 0 tal que g x > r para todo x ∈ R
  5. Tal afirmação é falsa para toda g limitada

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Sejam f , g funções tais que lim x → ∞  ⁡ f ( x ) = + ∞ e g é limitada

E faz uma afirmação:

Então lim x → ∞  ⁡ f ( x ) g ( x ) = + ∞

E agora, essa afirmação é verdadeira?

Quando temos uma função limitada isso significa que o valor que essa função pode assumir é finito, como por exemplo a função seno! Independentemente do quão grande pode ser o ângulo x , o valor de sin ⁡ x   sempre irá estar entre [ - 1,1 ]

Sabemos também que o limite do produto é o produto dos limites. Assim temos o seguinte

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x )   = lim x → ∞ ⁡ f ( x )   .   lim x → ∞ ⁡ g ( x )

Se g ( x ) é limitada, então esse limite vai mesmo para infinito, mas a pergunta que não quer calar: para QUAL infinito?

Então a ideia é analisar o sinal desse produto com as afirmativas para ver qual delas se encaixa melhor! Beleza?

Bora lá!

Passo 2

A primeira afirmativa diz que a conclusão é verdadeira

lim x → ∞  ⁡ f x g x = + ∞

Mas isso não é verdade! Se a função limitada for negativa? Então o resultado será - ∞ ! Irá para o outro infinito! Então essa está errada.

E isso nos ajuda a ver que a segunda e a última também estão erradas, pois diz que isso só é verdade se g x ≠ 0 . Na verdade isso só é verdade se os dois valores forem positivos

Passo 3

Como a f ( x ) retorna + ∞ , a afirmação só estará correta plenamente se e somente se g x > r , com r > 0 e pertencente aos reais

E isso está na afirmativa ( d ) !

A outra fala no módulo, que também esbarra no problema do sinal, temos que a afirmativa é correta apenas se a limitada fornecer um valor positivo e diferente de zero, claro!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)