Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

a. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ , então tem-se que l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = + ∞ .

b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ , então tem-se que l i m x → ∞ f ( x )   +   g ( x ) = + ∞ .

c. Se f , g : R → R são funções tais que l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = + ∞ , então l i m x → ∞ f ( x )   −   g ( x ) = + ∞ .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se as afirmações

a. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ , então tem-se que l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = + ∞ .

b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ , então tem-se que l i m x → ∞ f ( x )   +   g ( x ) = + ∞ .

c. Se f , g : R → R são funções tais que l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = + ∞ , então l i m x → ∞ f ( x )   −   g ( x ) = + ∞ .

São verdadeiras ou falsas.

Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para a primeira afirmação, temos que:

  1. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ , então tem-se que l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = + ∞ .

Então, podemos olhar para o seguinte contra-exemplo

f ( x ) = 1 x 2 + 1 ,

que é uma função limitada e positiva, note que

l i m x → ∞ f ( x ) = 0 e l i m x → 0 f ( x ) = 1

e a função

g ( x ) = x 2 + 1

note que

l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ e l i m x → 0 g ( x ) = 1

Assim, temos que

l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = l i m x → ∞ 1 = 1

Contrariando a afirmação a, portanto ela é falsa.

Passo 3

Olhando para a segunda afirmação:

b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e l i m x → ∞ g ( x ) = + ∞ , então tem-se que l i m x → ∞ f ( x )   +   g ( x ) = + ∞ .

Temos que se f é limitada

l i m x → ∞ f ( x ) = L

Então sabendo que o limite da soma é a soma dos limites

l i m x → ∞ f ( x )   +   g ( x ) = L + ∞ = + ∞

Então essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Olhando para a terceira afirmação:

c. Se f , g : R → R são funções tais que l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = + ∞ , então l i m x → ∞ f ( x )   −   g ( x ) = + ∞

Temos que se f é

f ( x ) = 1 + x

e g é

g ( x ) = x

Então sabendo temos que

l i m x → ∞ f ( x )   g ( x ) = l i m x → ∞ x + x 2 = + ∞

Porém,

l i m x → ∞ f ( x ) -   g ( x ) = l i m x → ∞ 1 + x - x = l i m x → ∞ 1 = 1 .

Contrariando a afirmação c, portanto ela é falsa.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a. F;

b. V;

c. F.

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)