Seja A B C um triângulo tal que A B = 1 ,   A C = x , B C = y e B Â C = 120 ° . Quando vale lim x → ∞ ⁡ x - y ?

Passo 1

E aí galera, tudo certinho com vocês?

Nessa questão o enunciado nos deu um triângulo A B C com as seguintes informações:

A B = 1 A C = x B C = y B Â C = 120 °

Com essas informações, precisamos calcular:

lim x → ∞ ⁡ x - y

Então pessoal, pra resolver esse limite precisamos relacionar y com x .

Das informações dadas, temos dois lados do triângulo: 1 e x (que no limite, irá tender a infinito).

Qual Teorema ou Lei podemos usar pra relacionar dois lados e o ângulo de um triângulo com um terceiro lado?

É a Lei dos cossenos. Segundo ela:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 a b ⋅ c o s θ

onde θ é o ângulo entre os lados b e c .

Então, vamos buscar usar essa lei para relacionar y com x , e depois aplicamos o limite.

Vem com a gente!

Passo 2

O ângulo entre os lados 1 e x é exatamente B Â C = 120 ° .

Daí, aplicando a lei dos cossenos, temos que:

y 2 = x 2 + 1 - 2 ⋅ x ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ 120 °

Assim:

y 2 = x 2 + 1 - 2 x ⋅ - 1 2

= x 2 + x + 1

Daí, aplicando a raiz, temos:

y = x 2 + x + 1

Excelente!

Vamos então voltar ao nosso limite:

lim x → ∞ ⁡ x - y = lim x → ∞ ⁡ x - x 2 + x + 1

Multiplicando pelo conjugado do termo dentro do limite, ou seja, por:

x + x 2 + x + 1 x + x 2 + x + 1

Temos:

x 2 - x 2 - x - 1 x + x 2 + x + 1

= - 1 - x x + x 2 + x + 1

Colocando x em evidência no numerador e no denominador:

= - 1 - 1 x 1 + 1 + 1 x + 1 x 2  

Voltando para o limite, temos:

lim x → ∞ ⁡ x - x 2 + x + 1 = lim x → ∞ ⁡ - 1 - 1 x 1 + 1 + 1 x + 1 x 2

Daí, como quando x → ∞ , todos os termos com x no denominador vão zerar, temos que:

lim x → ∞ ⁡ - 1 - 1 x 1 + 1 + 1 x + 1 x 2 = - 1 1 + 1

=   - 1 2

Portanto:

lim x → ∞ ⁡ x - y = - 1 2

E é isso aí!!

Valeu pessoal!

Resposta

- 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)