Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

Sem usar a regra de L’Hospital, calcule o limite ou prove que não existe:

l i m x →   + ∞ ln ⁡ ( x ) -   ln ⁡ ( x + 1 )

Passo 1

Caímos numa indeterminação se substituirmos x por no limite, olha:

l i m x →   + ∞ ln ⁡ ( ∞ ) -   ln ⁡ ( ∞ + 1 ) = ∞ - ∞

Então vamos ter que dar um jeito no limite pra sair dessa cilada. Mãos à obra!

Passo 2

Usando a propriedade log ⁡ a - log ⁡ b = log ⁡ a b podemos fazer o seguinte:

l i m x →   + ∞ ln ⁡ ( x ) -   ln ⁡ ( x + 1 ) = l i m x →   + ∞ ln ⁡ x x + 1

Agora podemos dividir tudo por x , já que o limite está tendendo para . Aí fica:

l i m x →   + ∞ ln ⁡ x x + 1 = l i m x →   + ∞ ln ⁡ 1 1 + 1 x

E como

l i m x →   + ∞ 1 x = 0

Então

l i m x →   + ∞ ln ⁡ 1 1 + 1 x = l i m x →   + ∞ ln ⁡ 1 1 + 0 = l i m x →   + ∞ ln ⁡ 1 = ln ⁡ 1 = 0

Resposta

0

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