Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 13b

Mostre que:

  1. e x > x 2 2   ,             x 0

Passo 1

Entender o que acontece no x +

Provar essa inequação parece complicadinho, até porque se fizermos:

lim x + e x > lim x + x 2 2

>

Eita, mas será mesmo que uns infinitos são menores do que outros ?

Uma estratégia é tentar provar que:

e x - x 2 2 > 0   ,             x I R

Que dá no mesmo, mas facilita a nossa vida na hora de aplicar o limite. Vamos então agora calcular:

lim x + e x - x 2 2 > 0

E como a questão pede pra provar pra x = 0 também, vamos provar que:

f x = e x - x 2 2

f 0 > 0

Partiu então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular o limite para x +

Nesse limite temos duas funções que tendem ao infinito, então:

lim x + e x - x 2 2

É na verdade uma indeterminação do tipo - . Temos que então reescrever a função de forma a nos ajudar a sair dessa indeterminação. Vamos começar então por:

lim x + e x - x 2 2 =   lim x + e x 1 - x 2 2 e x

O que é o mesmo que:

lim x + e x - x = lim x + e x lim x + 1 - x 2 2 e x

lim x + e x - x = lim x + e x lim x + 1 - lim x + x 2 2 e x

Eita, parece mais complicado! Mas de uma boa olhada no último limite na ordem de leitura:

lim x + x 2 2 e x

Esse limite é algo que tiramos por L’Hospital! Realizando então:

lim x + x 2 2 e x = lim x + x e x

E realizando mais uma vezinha só, ficamos:

lim x + x e x = lim x + 1 e x

E por fim, ficamos com:

lim x + e x - x = lim x + e x lim x + 1 - lim x + 1 e x

Agora sim, só aplicar os limites e ver no que dá:

lim x + e x - x = 1 - 0

lim x + e x - x =

E até ontem pelo menos:

> 0

Então esse limite ta provado. Falta pouco pra fecharmos agora!

Passo 3

Provar que f 0 > 0

Essai é tranquila. Tudo que precisamos fazer é substituir. Então bora:

f x = e x - x 2 2

f 0 = e 0 - 0 2 2 = 1

f 0 = 1 > 0

Show, fechamos então!

Resposta

e x > x 2 2   ,             x 0 é provado como verdadeiro.

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