11b) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

Dê os pontos onde f é contínua. Justifique.

Passo 1

Eaí pessoal, vamo matar mais questãozinha?

Lembra que, na prática, uma função ser contínua é simplesmente podermos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel, ou seja, desenhar de forma contínua!

Então po, os polinômios são todos contínuos, assim como a divisão de polinômios (nos pontos em que a função é definida, claro). Por isso, em R - { - 3 ,   - 1 } já podemos afirmar que f é contínua.

Passo 2

Agora para os locais onde a função está sendo definida pontualmente precisamos analisar com mais calma. Para que f seja contínua nesses pontos, precisa valer que:

lim x → p ⁡ f ( x ) = f ( p )

Vamos lá então, analisar esses pontos.

  1. x =   - 1 :
  • lim x → - 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 = lim x → - 1 ⁡ x x + 1 2 x + 3 x + 1 2 = lim x → - 1 ⁡ x x + 3   =   - 1 2
  • Muito bom!! f é contínua também em x =   - 1 .

  • x =   - 3 :
  • lim x → - 3 ⁡ x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 =   lim x → - 3 ⁡ x x + 3    

Nesse caso temos um problema, porque não conseguimos tirar a indeterminação do limite. Na verdade, para x =   - 3 nem os limites laterais vão ser iguais, pois um deles tenderá para + ∞ e o outro para - ∞ . Por isso, f não é contínua em x =   - 3 .

Resposta

f é contínua em R - { - 3 } .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1