Para cada afirmação, assinale V se ela for verdadeira, ou F se ela for falsa

( ) Toda função polinomial é contínua em R

( ) Se f x for contínua em a , então lim x → a ⁡ f x = f a

( ) Para uma função f ( x ) , se D f = R , então f é contínua em toda parte

( ) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é de julgar se as sentenças são verdadeiras ou falsas, então precisamos analisar uma a uma

Mas antes, vamos relembrar quais são as condições para que uma função seja contínua em um determinado ponto?

Para que uma função seja considerada contínua em um ponto x = a , deve acontecer três coisas

  1. Os limites laterais devem existir e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. E os resultados de ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Então a ideia é analisar afirmativa por afirmativa, lembrando das condições para uma função ser contínua e verificar se são verdadeiras ou falsas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

( ) Toda função polinomial é contínua em R

Uma função polinomial é uma função do tipo

f x = a x n + b x n - 1 + c x n - 2 + …

E ela não apresenta nenhum ponto que mereça nossa atenção, já que seu domínio são todos os reais! Não tem como resultar em uma indeterminação!

Isso significa que um polinômio é sim contínuo em todo conjunto dos R !

Sendo assim a afirmativa é verdadeira!

Tudo bem até aqui?

Passo 3

( ) Se f x for contínua em a , então lim x → a ⁡ f x = f a

Lembra o que falei sobre continuidade? Vamos resgatar as condições:

  1. Os limites laterais devem existir e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. E os resultados de ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

A primeira condição fala sobre os limites laterais. Se eles existem e são iguais, isso significa que o limite existe nesse ponto

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) → lim x → a ⁡ f x

E o valor do limite é o valor dos limites laterais (que são iguais, certo?)

E mais que isso, se a função é contínua, o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto! Então, se a função é contínua em x = a , então

lim x → a ⁡ f x = f a

E isso significa que essa segunda afirmativa é verdadeira também!

Passo 4

( ) Para uma função f ( x ) , se D f = R , então f é contínua em toda parte

Essa afirmativa diz que se não tivermos pontos “ruins” no domínio, ou seja, a função é bem-comportada em todos os pontos, então ela é contínua em toda parte. Será?

Não! Embora uma função seja bem-comportada, em um determinado ponto a função pode “saltar”, assim:

A função existe em todos os pontos, mas em um determinado x = a

lim x → a ⁡ f x ≠ f a

E portanto, ali a função não é contínua!

Então essa afirmativa é falsa

Partiu analisar a última?

Passo 5

( ) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero

Você lembra o que acontece quando dividimos por zero? Por exemplo

lim x → 1 + ⁡ 5 x - 1

Quando calculamos esse tipo de limite, sabemos que x se aproxima de 1 , mas por valores maiores do que 1 . Sabemos que

x - 1 > 0

Pois x é pouca coisa maior do que 1 , mas é maior! Então no nosso limite dividimos 5 por um número positivo e bem (beeeem) pequeno! O resultado disso é

+ ∞

E isso simboliza uma descontinuidade! Então descontinuidade em funções racionais é justamente isso, é onde o denominador é zero!

Portanto essa última afirmativa também é verdadeira!

Vamos recapitular os resultados:

(V) Toda função polinomial é contínua em R

(V) Se f x for contínua em a , então lim x → a ⁡ f x = f a

(F) Para uma função f ( x ) , se D f = R , então f é contínua em toda parte

(V) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero

Beleza? É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( V )   T o d a   f u n ç ã o   p o l i n o m i a l   é   c o n t í n u a   e m   R

( V )   S e   f x   f o r   c o n t í n u a   e m   a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x = f a

( F )   P a r a   u m a   f u n ç ã o   f ( x ) ,   s e   D f = R ,   e n t ã o   f   é   c o n t í n u a   e m   t o d a   p a r t e

( V )   T o d a   f u n ç ã o   r a c i o n a l   p o s s u i   d e s c o n t i n u i d a d e   o n d e   o   d e n o m i n a d o r   é   z e r o  

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1