2. Calcule o valor de a , b ∈ R , com a > 0 e b ≠ 0 considere a função

f x = 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 ,   s e   x < π 1                                         ,   s e   x = π b - 1 sin ⁡ a x - π x - π   ,   s e   x > π

Determine os valores de a e b para que f seja continua em x = π .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu uma função que possui diferentes comportamentos para x < π , no ponto x = π , e em x > π . Então repara que o ponto x = π é o nosso problema, pois ali que a função muda de comportamento.

Deste modo, para que essa função seja continua temos que achar a e b , que faça com que todas as funções tenham o mesmo valor quando x → π .

Em outras palavras, para que a função seja continua temos que verificar quando

lim x → π ⁡ 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 = 1

lim x → π ⁡ b - 1 sin ⁡ a x - π x - π = 1

Então vamos calcular esses limites!

Passo 2

Vamos começar substituindo π na função para calcular o primeiro limite,

lim x → π ⁡ 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 = 5 π - π 2 + a 2 - 5 a b π - π 2 = 0 0

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Vamos sair dessa indeterminação multiplicano pelo seu conjugado,

lim x → π ⁡ 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 = lim x → π ⁡ 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 . 5 x - π 2 + a 2 + 5 a 5 x - π 2 + a 2 + 5 a

= lim x → π ⁡ 25 x - π 2 + a 2 - a 2 b x - π 2 5 x - π 2 + a 2 + 5 a

E para que essa função seja continua, temos que esse limite deve ser 1 ,

lim x → π ⁡ 25 x - π 2 b x - π 2 5 x - π 2 + a 2 + 5 a = 1

Repara que podemos cortar o termo x - π 2

lim x → π ⁡ 25 b 5 x - π 2 + a 2 + 5 a = 1

Podemos escrever nosso limite assim,

lim x → π ⁡ 5 b x - π 2 + a 2 + a = 1

Calculando nosso limite, ficamos com

lim x → π ⁡ 5 b x - π 2 + a 2 + a = 5 b π - π 2 + a 2 + a = 1

Logo,

5 2 a b = 1

a b = 5 2

Agora vamos para o próximo limite!

Passo 3

Vamos para o segundo limite! Repara que também caímos em uma indeterminação

lim x → π ⁡ b - 1 sin ⁡ a x - π x - π = 0 0

Para determinar esse limite, vamos utilizar o limite fundamental trigonométrico. Que diz o seguinte:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Para aplicar esse limite fundamental trigonométrico, vamos fazer uma mudança de variável chamando

u = ( x - π )

Alterando o limite temos que se

x → π

u → x - π → 0

Logo o nosso limite fica assim

lim u → 0 ⁡ b - 1 sin ⁡ a u u

Repara que para aplicar o limite fundamental trigonométrico, vamos ter que multiplicar por a em cima e embaixo,

lim u → 0 ⁡ a b - 1 sin ⁡ a u a u = a b - 1 . 1

Voltando ao nosso limite original ficamos com

lim x → π ⁡ b - 1 sin ⁡ a x - π x - π = a b - 1

E para que essa função seja continua, temos que esse limite deve ser 1 . Logo,

a b - 1 = 1

a = 1 b - 1

Passo 4

Juntando as relações que encontramos para a e b , nos passos anteriores, ficamos com

a b = 5 2 a = 1 b - 1

Logo, podemos dizer que

1 b - 1 b = 5 2

Com isso temos que

b = 5 3

Agora podemos calcular a

a = 1 5 3 - 1 = 3 2

Resposta

a = 3 2

b = 5 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1