Considere

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

Sem fazer cálculos é possível afirmar que f é contínua em 1 ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

É contínua em 1 .

Bom... Uma função é contínua em um ponto x   =   a se três condições são satisfeitas:

  1. O valor da função f ( a ) está definido (ou seja, f ( a ) não é indefinido);
  2. O limite da função quando x se aproxima de a , ou seja, l i m ⁡ x → a   f ( x ) , existe;
  3. O valor do limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, l i m ⁡ x → a f x =   f a .

Agora vamos analisar a nossa função!!

😉

Passo 2

Assim, vamos relembrar que para x   <   1 , a função é dada por f ( x )   =   x 2   +   2 , e para x   ≥   1 , a função é dada por f ( x )   =   2 x   +   1 .

Observe que f ( 1 )   =   1 2   +   2   =   3 , que está definido.

Além disso, tanto a função f ( x )   =   x 2   +   2 quanto a função f ( x )   =   2 x   +   1 são funções polinomiais, e as funções polinomiais são contínuas em todos os pontos do seu domínio.

Portanto, todas as condições para a continuidade são satisfeitas em x   =   1 , e podemos afirmar que a função f ( x ) é contínua em x   =   1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função é contínua e derivável em x = 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1