Considere a função f : R → R dada por f x = e - 1 / x 2   ,     s e   x ≠ 0 0                             s e   x = 0

a) Mostre que f é contínua em x = 0 .

b) Decida se f é derivável em x = 0 . Em caso afirmativo, calcule f ' ( 0 ) .

c) Esboce, no sistema de coordenadas abaixo, o gráfico de f , determinando os intervalos de crescimento, concavidade e limites necessários.

Passo 1

Fala galerinha... bora matar essa questão?

Primeiramente, queremos mostra que f é contínua em x = 0 .

Para isso, é preciso que o lim x → 0 ⁡ f x = f 0 , ou seja, que o limite dessa função com x tendendo a zero seja igual a função nesse ponto.

Pelo o que foi dado, a função f x quando x = 0 , vale zero, portanto.

f 0 = 0

Beleza, mas e o limite dessa função?

Bom, nas proximidades de x = 0 , a função se comporta como e - 1 / x 2

Portanto, devemos calcular o limite considerando esse comportamento...

lim x → 0 ⁡ e - 1 / x 2

Com a função e x é uma função contínua, eu posso colocar esse limite lá na exponencial...

lim x → 0 ⁡ e - 1 / x 2 = e l i m x → 0 - 1 x 2

Perfeito... mas como vai funcionar esse limite?

l i m x → 0 - 1 x 2

Esse é um caso onde meu denominador vai para zero, portanto o limite vai para infinito. E como o denominador é elevado ao quadrado, ele é sempre positivo, portanto,

lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 = - l i m x → 0 1 x 2 = - ∞ = - ∞

Dessa forma, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ e - 1 / x 2 = e - ∞

E a função e x quando x tende a - ∞ vai para zero, portanto:

lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 = 0

Que é igual ao valor da função no ponto, dessa forma, provamos que a função é contínua em x = 0 .

Passo 2

Bom, para encontrar essa derivada, podemos calcular pela definição...

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Nas proximidades de x = 0 , a função se comporta como e - 1 / x 2 , portanto...

lim x → 0 ⁡ e - 1 / x 2 - 0 x - 0

l i m x → 0 e - 1 / x 2 x

E resolvendo esse limite, chegamos na indeterminação:

0 0

Portanto, podemos aplicar L’hospital e derivar em cima e embaixo.

Em cima teremos uma regra da cadeia

e - 1 x 2 ' = - 1 - 2 x - 3 e - 1 x 2

= 2 x 3 e - 1 x 2

E embaixo teremos a derivada de x que é igual a 1 , portanto:

l i m x → 0 e - 1 / x 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 x 3 e - 1 x 2

Substituindo x = 0 nesse limite, teremos:

= ∞ 0

Que é novamente uma indeterminação... vamos precisar seguir por outro caminho pelo visto.

O que vou fazer aqui vai ser trocar u = 1 / x , dessa forma terei:

l i m x → 0 e - 1 / x 2 x = lim u → ± ∞ ⁡ e - u 2 u = lim u → ± ∞ ⁡ u e u 2

Agora o limite vai para u → ± ∞ , pois quando x → 0 , como u = 1 / x , teremos que u → ± ∞

Ao substituir esse limite, vemos que teremos indeterminações do tipo ∞ / ∞

lim u → + ∞ ⁡ u e u 2 = ∞ e ∞ 2 = ∞ / ∞

lim u → - ∞ ⁡ u e u 2 = - ∞ e ( - ∞ ) 2 = - ∞ / ∞

Portanto, podemos aplicar L’hospital aqui.

lim u → ± ∞ ⁡ u e u 2 = l i m u → ± ∞ 1 2 u e u 2  

E agora sim, substituindo o limite, teremos:

l i m u → ± ∞ 1 2 u e u 2 = 1 ∞ e ∞ 2 = 1 ∞ = 0

Portanto, a derivada dessa função em x = 0 existe e vale 0 .

Passo 3

Bom, inicialmente vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, analisando a primeira derivada dela.

Aqui eu vou calcular esses valores para a função f x = e - 1 / x 2 , pois para x = 0 , nós já avaliamos tudo que tínhamos para avaliar.

f ' x = - 1 - 2 x 3 e - 1 / x 2

f ' x = 2 x 3 e - 1 / x 2

Bom, o termo e - 1 / x 2 é sempre positivo, pois a função exponencial e x sempre retorna um valor positivo.

Já o termo que 2 / x 3 é positivo quando x > 0 e negativo quando x < 0 , portanto.

f ' x é positiva para x > 0 e negativa para x < 0 .

Agora, para avaliar a concavidade, vamos analisar a segunda derivada.

E precisamos tomar cuidado aqui, pois teremos uma regra do produto.

f ' ' x = 2 - 3 x 4 e - 1 / x 2 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3   e - 1 / x 2

f ' ' x = - 6 x 4 e - 1 / x 2 + 4 x 6 e - 1 / x 2

Podemos aqui colocar e 1 / x 2 em evidência, e assim realizar a soma de frações.

f ' ' x = - 6 x 2 + 4 x 6 e - 1 / x 2

Nessa segunda derivada temos que x 6 é sempre positivo, pois é um potência par de x . Assim como a função e - 1 / x 2 , também será sempre positiva.

Portanto, o sinal dessa função será o mesmo sinal que - 6 x 2 + 4 .

Vemos que essa função será positiva quando:

- 6 x 2 + 4 > 0

- 6 x 2 > - 4

Multiplico por - 1 e inverto a desigualdade

x 2 < 2 3

| x | <   2 3

Portanto, a concavidade é para cima quando x for menor que 2 3 e maior que - 2 3 .

Nos demais pontos, a concavidade é para baixo.

E x = ± 2 3 é o ponto de inflexão.

Resposta

a) e b) Resolução nos Passos.

c) Crescimento x > 0

Decrescimento x < 0

Côncava para cima: - 2 3 < x < 2 3

Côncava para baixo: x < - 2 3 e x > 2 3

Ponto de Inflexão: x = 2 3 e x = - 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1