Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 f ( x )

Passo 1

Oiiii pessoas lindas! Tudo bom?

Bom gente, a questão nos dá uma função que possui o domínio e imagem no conjunto dos números reais. E a função em questão é uma função definida por partes, ou seja, dependendo do intervalo a “cara” da nossa função pode mudar.

Sendo assim, vemos que quando o x   ≥   3   a função será definida como f ( x )   =   2 x   +   1 .

Já quando o x   <   3 a função terá o formato da seguinte função f ( x )   =   x ²   - 4 x   +   6 .

Passo 2

Mas, o que desejamos mesmo é saber qual é o limite de f ( x ) quando o x →   3 . Logo, devemos descobrir para onde essa função tende quando nos aproximamos do 3 de ambos os lados, ou seja, devemos descobrir se os limites laterais coincidem e se a função em questão é contínua. Caso um desses dois critérios não seja atendido declaramos que o limite da função não existe. Vamos lá!

Passo 3

Bom, a primeira coisa que verificaremos é se a função f ( x ) é contínua. Pela definição matemática, uma função é contínua num ponto x   = a se:

l i m x → a f ( x )   =   f ( a )

Ok, essa relação é pra quando a função for contínua em um ponto certo? Aí você deve tá se perguntando então quando é que a função é completamente contínua?

É quando essa regrinha é válida em todo o seu domínio, beleza?

Sendo assim, vemos que todos os pontos do domínio estão associados a

um valor no contradomínio , dessa forma a nossa função é contínua.

Porém…

Passo 4

Mas é necessário verificar também se os limites laterais são iguais.

Bora?!

l i m x → 3 + f ( x )   =   2 x   +   1   =   2 ⋅ 3 +   1

=   6   +   1   =   7

e

l i m x → 3 - f ( x )   =   x ²   - 4 x   +   6 =   9 -   4 ⋅ 3   +   6  

=   9   -   6   =   3

Assim, l i m x → 3 + f ( x )   ≠   l i m x → 3 -

Portanto, o l i m x → 3 f ( x )   Não Existe!

Resposta

l i m x → 3 f ( x )     Não Existe!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1