Considere a função f :   R ⟶ R definida por

f x = x 3 + x - 2 s e n 1 x - 2     s e   x < 2 ,   a                                                                                             s e   x = 2 , b x 2 - 4 x - 2                                                         s e   2 < x .

Encontre valores reais para a e b tais que a função f seja contínua em todos os pontos do seu domínio. Justifique a resposta.

Passo 1

Bom pessoal, o que vamos precisar fazer para dizer que essa função definida em partes seja contínua? Os limites para cada parte da função devem ser iguais no ponto de encontro entre elas, esse ponto de encontro é:

x = 2

Então:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = f ( 2 )

Passo 2

Vamos começar calculando o limite para valores menores que 2 :

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ x 3 + x - 2 s e n 1 x - 2

Vamos começar substituindo o valor de 2 nessa expressão:

( 2 ) 3 + 2 - 2 s e n 1 2 - 2 = 8 + 0 ⋅ s e n 1 0

Você concorda comigo que não importa o que vai acontecer dentro do seno? Uma vez que esse seno vai ser multiplicado por 0 , essa parcela vai ser nula. Um erro possível aqui é você achar que seno de infinito vezes 0 pode dar uma indeterminação. Mas lembra que os senos variam entre -1 e +1, mesmo que o ângulo seja muito muuuuuuuito grande.

Sendo assim, só sobrará a outra parcela que está sendo somada:

Passo 3

Passo 4

Agora que chegamos ao limite inferior, vamos calcular a função para o ponto de interesse:

f 2 = a

Como temos que ter:

lim x → 2 - ⁡ f x = f 2

E já calculamos:

lim x → 2 - ⁡ f x = 8

Então:

a = 8

Passo 5

Agora vamos calcular o outro limite para encontrar o valor de b :

lim x → 2 + ⁡ b x 2 - 4 x - 2

Se a gente substituir x = 2 , vamos encontrar uma indeterminação. Então vamos manipular essa equação, pra gente se livrar da indeterminação.

Percebe uma coisinha, a expressão x 2 - 4 nada mais é do que um produto notável:

x 2 - 4 = x + 2 ⋅ x - 2

Então podemos simplificar o limite:

lim x → 2 + ⁡ b x 2 - 4 x - 2 = lim x → 2 + ⁡ b x - 2 ( x + 2 ) x - 2 = lim x → 2 + ⁡ b ( x + 2 )

Substituindo o valor de x = 2 :

lim x → 2 + ⁡ b ( x + 2 ) = b 2 + 2 = 4 b

Como temos que igualar o limite para valores maiores que 2 ao limite que encontramos para valores menores que 2 :

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ f ( x )

E sabemos que:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = 8

Então:

4 b = 8

Encontramos o valor de b :

b = 2

Resposta

a = 8

b = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1