Considere a função

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

b) f é uma função contínua em todo o seu domínio?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pergunta se a seguinte função f x é contínua em todo o seu domínio:

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Lembrando que já descobrimos o domínio D da função na letra a):

D = x ∈ R | x ≠ 0

Agora, para descobrir se ela é contínua, precisamos verificar se ela é contínua para cada valor de x dentro do domínio.

E aí, bora lá?

😉

Passo 2

Vamos analisar primeiramente para os valores de x ≠ 0 :

Para valores de x diferentes de zero, a função f ( x ) é definida como f x =   x   +   x 3 * sin ⁡ 1 x .

Nesse intervalo, a função é uma combinação de polinômio e a função seno, ambas conhecidas por serem contínuas em todo o seu domínio.

Portanto, a função f ( x ) é contínua para x   ≠   0 .

Passo 3

Agora, para x = 0 :

No ponto x   =   0 , a função é definida como f ( 0 )   =   0 .

O valor da função no ponto x   =   0 corresponde ao limite da função quando x se aproxima de zero.

Podemos calcular esse limite:

lim x → 0 ⁡ x + x 3 * sin ⁡ 1 x

Perceba que quando x se aproxima de zero, x 3 se aproxima de zero mais rapidamente do que x , e o termo x 3   *   s i n 1 x também se aproxima de zero. Então, o limite da função quando x   →   0 é:

lim x → 0 ⁡ x + x 3 * sin ⁡ 1 x = 0

Portanto, a função também é contínua no ponto x   =   0 .

Assim, podemos concluir que a função f ( x ) é contínua em todo o seu domínio. A continuidade é garantida tanto para valores de x diferentes de zero quanto para x = 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função é contínua para todos os números reais

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2