Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = x 2 + x ,       s e   x < 1 3 ,                         s e   x = 1 x 2 - 1 x + 1 ,       s e   x > 1 ;                   p a r a   x = 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para que a nossa função seja contínua, ela precisa respeitar 2 regras importantes.

A primeira diz que para a função ser contínua, os limites laterais da função no ponto dado, tem que ser iguais:

I lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x )

A segunda diz que para a função ser contínua, o limite da função no ponto que foi dado tem quer igual ao valor da função no ponto.

I I lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Show, agora vamos verificar se a nossa função respeita essas regras no ponto dado.

Passo 2

Começando pela primeira regra:

f x = x 2 + x ,       s e   x < 1 3 ,                         s e   x = 1 x 2 - 1 x + 1 ,       s e   x > 1 ;                   p a r a   x = 1

lim x → 1 - ⁡ f x

Importante destacar aqui que quando x → 1 - , x está assumindo um valor menor que 1, então usaremos:

lim x → 1 - ⁡ x 2 + x = 2

Ok, agora o segundo limite.

lim x → 1 + ⁡ f x

Importante destacar aqui que quando x → 1 + , x está assumindo um valor maior que 1, então usaremos:

lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 x + 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - 1 1 + 1 = 0

Opa, reparem que os limites laterais deram diferentes, então nem precisamos checar a segunda regra. A função não é contínua no ponto

Resposta

N ã o   é   c o n t í n u a .

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1