Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é contínua em 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

É contínua em 0 .

Para verificarmos isso, devemos calcular os limites laterais para os valores de x que vêm a esquerda e a direita de 0 .

Caso os dois limites deem o mesmo valor, então o limite existe e a função é derivável nesse ponto.

Além disso a função também deve obedecer a seguinte regra:

lim x → a ⁡ f x = f a

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, vamos ver direitinho primeiro o limite lateral para x → 0 + (pela direita).

Para os números que vêm pela direita de 0 ,ou seja, x > 0 , temos:

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x

Pelo Teorema do Confronto, temos:

- 1 < sin ⁡ 1 x < 1

Substituindo - 1 e 1 no limite, vemos:

lim x → 0 + ⁡ x - 1 = 0 * - 1 = 0

lim x → 0 + ⁡ x 1 = 0 * 1 = 0

Portanto, podemos concluir que:

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0

Passo 3

Agora, vamos ver direitinho primeiro o limite lateral para x → 0 - (pela esquerda).

Para os números que vêm pela esquerda de 0 ,ou seja, x < 0 , temos:

lim x → 0 - ⁡ x sin ⁡ 1 x

Pelo Teorema do Confronto, temos:

- 1 < sin ⁡ 1 x < 1

Substituindo - 1 e 1 no limite, vemos:

lim x → 0 - ⁡ x - 1 = 0 * - 1 = 0

lim x → 0 - ⁡ x 1 = 0 * 1 = 0

Portanto, podemos concluir que:

lim x → 0 - ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0

Assim, como os limites laterais resultaram em valores iguais, o limite existe em x = 0 .

Passo 4

Agora, vamos testar se:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Pelo que nos foi informado na questão, temos que para x = 0 :

f 0 = 0

Como vimos nos Passos anteriores que o limite existe e é igual a 0 , então podemos concluir que a função é contínua em x = 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função é contínua e derivável em x = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1