Considere

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

Verifique se f é derivável em 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,   �� x ≥ 1

É derivável em 1 .

Para verificarmos isso, devemos calcular os limites laterais para os valores de x que vêm a esquerda e a direita de 1 .

Caso os dois limites deem o mesmo valor, então o limite existe e a função é derivável nesse ponto.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, vamos ver direitinho primeiro o limite lateral para x → 1 + (pela direita).

Para os números que vêm pela direita de 1 ,ou seja, x > 1 , temos:

lim x → 1 + ⁡ 2 x + 1

Fazendo x → 1 + , temos:

2 1 + 1 ∴

= 2 + 1 ∴

= 3

Perceba que quando x → 1 + , f x se aproxima de 3 .

Passo 3

Agora, para x → 1 - (pela esquerda):

Para os números que vêm pela esquerda de 1 ,ou seja, x < 1 , temos:

lim x → 1 - ⁡ x 2 + 2

Fazendo x → 1 - , temos:

1 2 + 2 ∴

= 3

Perceba que quando x → 1 - , f x se aproxima de 3 .

Nesse sentido, como os limites laterais tiveram resultados iguais, podemos dizer que a função é contínua e derivável em x = 1 e que:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função é contínua e derivável em x = 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1