Construa uma função f : R → R que é contínua em um único ponto.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que construir uma função f : R → R que é contínua em um único ponto. Vamos tentar usar a delta de Dirac nessa construção.

Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para definição da delta de Dirac , temos

δ ( x ) = { 1 ,   s e     x = 0 ;   0 ,   s e   x ≠ 0 .

Vamos tentar usar a delta de Dirac para construir uma função contínua em um único ponto.

Passo 3

Então, temos que a função:

f ( x ) = 1 δ ( x ) = { 1 ,   s e     x = 0 ;   ∞ ,   s e   x ≠ 0 .

Note que os limites laterais existem e são iguais:

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 - f ( x ) = 1 .

Temos que essa função é contínua em apenas em   x = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = 1 δ ( x ) .

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1